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第六章 样本及抽样分布 第一节 引言 在概率论中，概率分布通常被假定为已知的，而一切问题的解决均基于已知的分布进行的。 但在实际问题中，情况往往并非如此。 例 6-1 第二节 总体与样本 一、总体与个体 二、样本 三、小结 第三节 统计量及其分布 一、基本概念 二、常见分布（正态总体的抽样分布） t分布的一些重要事实: (1) 自由度为1的t分布就是标准柯西分布,其均值不存在; (2) n1时, t分布的数学期望存在且为0; (3) n2时, t分布的方差存在且为n/(n-2) (4) 当自由度较大(如n?30)时, t分布可以用N(0,1)分布近似. 三、小结 当 n 充分大时, 其图形类似于标准正态变量概率密度的图形. 因为 由于 又 因此 例1 解 由契比雪夫不等式 例2 解 P (2) 且相互独立, 由定理6-2 样本 k 阶原点矩 样本 k 阶中心矩 (3)样本矩（定义6-4） 注意：样本一阶原点矩就是样本均值。 注意：k=2时，称为二阶样本中心矩，记为sn2 (4) 极大顺序统计量和极小顺序统计量 定义6-5 定理6-3 证明: 记x(1)和x(n)的分布函数分别为F1(x)和Fn(x) 定理6-3 证明: 例 解 统计量的分布称为抽样分布.（三大抽样分布） 1. 性质1 ( 此性质可以推广到多个随机变量的情形. ) 性质2 , , 分位数的值 得 可以通过查表求 对于不同的 a a n 数 分布的分位数 2 c 附表4只详列到 n=45 为止. 例 解 例 2 ) ( 1 2 , ) 16 ( , , , , ) , ( ~ 2 1 2 2 2 1 2 t y ü ? í ì ￡ - ￡ = ? = s m s s m n i i n X n P X n X X X N X 概率 求 的样本 为来自 设总体 L 例 解 且它们相互独立, 根据独立同分布中心极限定理5-4 , (1) , , , ) 1 ( 2 100 2 1 分布 都具有 因为 c X2 X2 X2 L 2. 根据F分布的定义可知, 分布的分位数 F 例4 证明 . 分位数 的一些 用来求分布表中未列出 a t 分布又称学生氏(Student)分布. 3. 一、总体与个体 二、样本 三、小结 1. 总体 研究对象的全体称为总体. 在研究2000名学生的年龄时, 这些学生的年龄的全体就构成一个总体, 每个学生的年龄就是个体. 2. 个体 构成总体的每个成员称为个体. 实例1 某工厂10月份生产的灯泡寿命所组成的总体中, 个体的总数就是10月份生产的灯泡数, 这是一个有限总体; 而该工厂生产的所有灯泡寿命所组成的总体是一个无限总体, 它包括以往生产和今后生产的灯泡寿命. 3. 有限总体和无限总体 实例2 当有限总体包含的个体的总数很大时, 可近似地将它看成是无限总体. 4. 总体分布 在2000名大学一年级学生的年龄中, 年龄指标值为“15”，“16”，“17”，“18”，“19”，“20” 的依次有9，21，132，1207，588，43 名, 它们在总体中所占比率依次为 实例3 即学生年龄的取值有一定的分布. 一般地, 我们所研究的总体, 即研究对象的某项数量指标 X , 其取值在客观上有一定的分布, 是一个随机变量. 总体分布的定义 我们把数量指标取不同数值的比率叫做总体分布. 如实例3中, 总体就是数集 {15, 16, 17, 18, 19, 20}. 总体分布为 1. 样本的定义 2. 简单随机抽样的定义 最常用的“简单随机抽样”有如下两个要求： （1）样本具有随机性 （2）样本要有独立性 即要求总体中每一个个体都有同等机会被选入样本，这便意味着每一个样品 与总体 有相同的分布 . 即要求样本中每一样品的取值不影响其他样品的取值，这意味着 相互独立. 用简单随机抽样方法得到的样本称为简单随机样本，简称样本 根据简单随机样本定义得: 又若X为离散型随机变量， 样本分布是指 样本的联合分布 解 例6-6 解 例6-7 考虑电话交换台1小时内的呼唤次数X，求来自这一总体的简单随机样本x1, x2,…,xn的样本分布。 由概率论知识，X服从泊松分布P(?)，其概率函数为 因此简单随机样本x1, x2,…,xn的样本分布为 解 练习 个体 总体 有限总体 无限总体 基本概念: 说明1　一个总体对应一