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回归分析的目的：依靠观察数据建立变量间的关系， 分析数据规律。 回归分析的内容： 回归分析 ? 本章内容：线性回归分析。 第五章 回归分析 回归分析是描述数据处理方法的一门应用学科，它是统计学者常用的工具，它理论完善，计算方法灵活巧妙，无论从事理论研究还是从事应用的统计学者对此都很感兴趣.本章对回归分析的基础知识和应用作简单介绍。主要包括一元线性回归与多元线性回归。介绍回归分析中的参数估计，假设检验以及预测等内容 从浩瀚无垠的宇宙到微小的分子、原子，从无机界到有机界，从自然到社会，无一事物不处在与其他事物的联系之中.事物之间不仅存在着相互联系，而且还具有一定的内部规律. 例如, 矩形的面积S和矩形的两条边长a和b有关系: 又如著名的欧姆定律指出, 电压V、电阻R与电流I之间有关系: V=I. R 让我们来看一下有联系的变量之间的关系: 以上两例的共同点在于，三个量中任意两个已知，其余一个就可以完全确定. 也就是说，变量之间存在着确定性的关系，并且可以用数学表达式来表示这种关系. 然而，在大量的实际问题中，变量之间虽有某种关系，但这种关系很难找到一种精确的表示方法来描述. 例如,人的身高与体重之间有一定的关系,知道一个人的身高可以大致估计出他的体重,但并不能算出体重的精确值. 其原因在于人有较大的个体差异, 因而身高和体重的关系, 是既密切但又不能完全确定的函数关系. 类似的变量间的关系在大自然和社会中屡见不鲜. 例如,小麦的穗长与穗重的关系;某班学生最后一次考试分数与第一次考试分数的关系;温度、降雨量与农作物产量间的关系;人的年龄与血压的关系; 家庭收入与支出的关系等等. 从数量的角度去研究这种关系，是数理统计的一个任务. 这包括通过观察和试验数据去判断变量之间有无关系，对其关系大小作出数量上的估计,对互有关系的变量通过其去推断和预测其它,等等. 回归分析就是研究相关关系的一种重要的数理统计方法. 这种大量存在的变量间既互相联系但又不是完全确定的关系，称为相关关系. 回归这一术语是1886年英国生物学家高尔顿在研究遗传现象时引进的. 他发现: 虽然高个子的先代会有高个子的后代, 但后代的增高并不与先代的增高等量. 他称这一现象为“向平常高度的回归”. 尔后,他的朋友麦尔逊等人搜集了上千个家庭成员的身高数据: y=0.516x+33.73 (英寸) 分析出儿子的身高y和父亲的身高x大致为如下关系： 这意味着, 若父亲身高超过父亲平均身高6英寸, 那么其儿子的身高大约只超过儿子平均身高3英寸, 可见有向平均值返回的趋势. 在回归分析中, 当变量只有两个时, 称为一元回归分析; 当变量在两个以上时, 称为多元回归分析. 变量间成线性关系, 称线性回归,变量间不具有线性关系, 称非线性回归. (x,Y) 采集样本信息(xi,yi) 回归分析 散点图 回归方程 线性关系的显著性检验 对现实进行预测与控制 基本思想 对于x的一组不完全相同的值x1, x2,…,xn作独立观察, 得到随机变量y相应的观察值y1,y2, …,yn, 构成n对数据. 用这n对数据可作出一个散点图, 直观地描述一下两变量之间的关系. 这里有三幅散点图. 根据散点图, 考虑以下几个问题: (1)两变量之间的关系是否密切, 或者说我 们能否由x来估计y. (2)两变量之间的关系是呈一条直线还是呈某种曲线. (3)是否存在某个点偏离过大. (4)是否存在其它规律. 考虑采用线性方程拟合 采用非线性方程拟合 一元线性回归 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响, 在山上建立了一个观测站, 测量了最大积雪深度x与当年灌溉面积 y, 得到连续10年的数据如下表: 让我们用一个例子来说明如何建立一元线性回归方程. 年序 最大积雪深度x(米) 灌溉面积y(公顷) 1 5.1 1907 2 3.5 1287 3 7.1 2693 4 6.2