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第一章 典型方程和 定解条件的推导 1.0 预备知识－基本概念 1.1 基本方程的建立 导出数学物理方程的一般方法： 确定所研究的物理量； 建立适当的坐标系； 划出研究单元，根据物理定律和实验资料写出 该单元与邻近单元的相互作用，分析这种相互 作用在一个短时间内对所研究物理量的影响， 表达为数学式； 简化整理，得到方程。 例 1. 弦的微小横振动 设有一条拉紧的弦，长为l，平衡位置与x轴的正半轴重合，且一端与原点重合,确定当弦受垂直外力作用后的运动状态。 假设与结论： （1）横振动 坐标系oxu，位移u(x,t) 例3. 声学方程 波动方程 　— 声波、电磁波、杆的振动； 热传导方程 — 物质扩散时的浓度变化规律, 长海峡中潮汐波的运动， 土壤力学中的渗透方程; Laplace方程 — 稳定的浓度分布, 静电场的 电位, 流体的势. 2.2 初始条件与边界条件 ?一 . 初始条件及Cauchy问题 描述某系统或某过程初始状况的条件称为初始条件， 初值条件与对应方程加在一起构成初值问题 (或称Cauchy问题）。 热传导方程 不同类型的方程，相应初值条件的个数不同。 初始条件给出的应是整个系统的初始状态，而非 系统中个别点的初始状态。 例1.长为l的弦，一端固定，一端以 sint 规律运动 第三类边界条件 2.3 定解问题 流入热量使物体内温度变化，在时间间隔 中物体温度从 变化到 所需吸收热量为 比热 密度 由于所考察的物体内部没有热源, 根据能量守恒定律可得 第一章 典型方程和定解条件的推导 由于时间 , 和区域 V 都是任意选取的,并且被积函数连续, 于是得 (非均匀的各向同性体的热传导方程) 对于均匀的各向同性物体， k为常数，记 则得齐次热传导方程: 三维热传导方程 * 1.1 基本方程的建立 若物体内部有热源 F(x,y,z,t), 则热传导方程为 其中 1.1 基本方程的建立 二维热传导方程 ―维热传导方程 三维热传导方程 1.1 基本方程的建立 在上述热传导方程中, 描述空间坐标的独立变量为 , 所以它们又称为三维热传导方程. 当考察的物体是均匀细杆时, 如果它的侧面绝热且在同一截面上的温度分布相同, 则可以得到一维热传导方程 类似, 如果考虑一个薄片的热传导, 并且薄片的侧面绝热, 可以得到二维热传导方程 1.1 基本方程的建立 当我们考察气体的扩散,液体的渗透, 半导体材料中的杂质扩散等物理过程时, 若用 表示所扩散物质的浓度, 则浓度所满足的方程形式和热传导方程完全相同. 所以热传导方程也叫扩散方程. 1.1 基本方程的建立 总 结： 1.1 基本方程的建立 一维齐次波方程： 一维齐次热方程： 二维Laplace方程： 1.1 基本方程的建立 2.2 初始条件与边界条件 初始位移、初始速度分别为 ,称 波动方程的初值条件. 弦振动问题 称为热传导方程的初值条件. 2.2 初始条件与边界条件 2.2 初始条件与边界条件 例.长为 l 两端固定的弦，初始时刻将弦的中点拉起 h ( ) ( ) x u 0 l h 正确写法 2.2 初始条件与边界条件 （I）第一类边界条件 * （II）第二类边界条件 （III）第三类边界条件 二. 边界条件 描述某系统或过程边界状况的约束条件称为边界条件. 2.2 初始条件与边界条件 第一类边界条件 例2.长为l的杆，一端温度为0，一端温度为 ξ (t ) 2.2 初始条件与边界条件 弦振动问题：弦的一端（如 x = l）可以在垂直 x 轴的直线上自由的上下滑动，且不受垂直方向的外力，我们称这种端点为“自由端”。 第二类边界条件 在这一端点，边界上的张力沿垂直于x轴的方向的分量为0，因此在方程的推导中知 , 即 2.2 初始条件与边界条件 当该点处的张力沿垂直x 轴的方向的分量是 t 的已知函数 时，有 * 2.2 初始条件与边界条件 热传导问题：如果物体和周围介质处于绝热状态，即在表面上热量的流速始终为0，则由