2014中考数学压轴题湖南篇(试题及答案).docVIP

2014年中考数学压轴题精编—湖南篇 1．（湖南省长沙市）已知：二次函数y＝ax 2＋bx－2的图象经过点（1，0），一次函数的图象经过原点和点（1，－b），其中a＞b＞0且a、b为实数． （1）求一次函数表达式（用含b的式子表示）； （2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点； （3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x1、x2，求| x1－x2|的范围． 1．解：（1）∵一次函数过原点，∴设一次函数的表达式为y＝kx ∵一次函数过（1，－b），∴－b＝k×1，∴k＝－b ∴一次函数的表达式y＝－bx 3分 （2）∵二次函数y＝ax 2＋bx－2的图象经过点（1，0），∴0＝a＋b－2 ∴b＝2－a 4分 由 得ax 2＋2(2－a)x－2＝0 ① 5分 ∵△＝4(2－a)2＋8a＝4(a－1)2＋12＞0 ∴方程①有两个不相等的实数根，∴方程组有两组不同的解 ∴这两个函数的图象交于不同的两点 6分 （3）∵两交点的横坐标x1、x2分别是方程①的解 ∴x1＋x2＝＝，x1x2＝－ ∴| x1－x2|＝＝＝＝ （或由求根公式得出） 8分 ∵a＞b＞0，b＝2－a，∴1＜a＜2 令函数y＝(－1)2＋3，则当1＜a＜2时，y随a增大而减小 ∴4＜(－1)2＋3＜12 9分 ∴2＜＜ ∴2＜| x1－x2|＜ 10分 2．（湖南省长沙市）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA＝cm，OC＝8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒． （1）用t的式子表示△OPQ的面积S； （2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值； （3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线y＝x 2＋bx＋c经过B、P两点，过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比． 2．解：（1）∵CQ＝t，OP＝t，CO＝8，∴OQ＝8－t ∴S△OPQ＝(8－t)·t＝－t 2＋t（0＜t＜8） 3分 （2）∵S四边形OPBQ＝S矩形ABCD － S△PAB － S△CBQ ＝8×－×t－×8×(－t)＝ 5分 ∴四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于 6分 （3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，△QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是∠QPB＝90° 又∵BQ与AO不平行，∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQ ∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP 7分 ∴＝，即＝，解得：t＝4 经检验：t＝4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度考虑） 此时P（，0） ∵B（，8）且抛物线y＝x 2＋bx＋c经过B、P两点 ∴抛物线是y＝x 2－x＋8，直线BP是y＝x－8 8分 设M（m，m－8），则N（m，m 2－m＋8） ∵M是BP上的动点，∴≤m≤ ∵y1＝x 2－x＋8＝( x－)2 ∴抛物线的顶点是P（，0） 又y1＝x 2－x＋8与y2＝x－8交于P、B两点 ∴当≤m≤时，y2＞y1 9分 ∴| MN |＝| y2－y1|＝y2－y1＝(m－8)－(m 2－m＋8) ＝－m 2＋m－16＝－(m－)2＋2 ∴当m＝时，MN有最大值是2，此时M（，4） 设MN与BQ交于H点，则H（，7） ∴S△BHM ＝×3×＝ ∴S△BHM : S五边形QOPMH ＝:(－)＝3 : 29 ∴当线段MN的长取最大值时，直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比为3 : 29 10分 3．（湖南省岳阳市）如图①、②，在平面直角坐标系中，一边长为2的等边三角板CDE恰好与坐标系中的△OAB重合，现将三角板CDE绕边AB的中点G（G点也是DE的中点），按顺时针方向旋转180°到△C′ED的位置． （1）求C′ 点的坐标； （2）求经过O、A、C′ 三点的抛物线的解析式； （3）如图③，⊙G是以AB为直径的圆，过B点作⊙G的切线与x轴相交于点F，求切线BF的解析式； （4）抛物线上是否存在一点M，使得S△AMF : S△OAB＝16 : 3？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．解：（1）C′ 点的横坐标为2＋2×＝3，纵坐标为2×＝ C′ 点的坐标为（3，） 2分 （2）∵抛物线过原点O（0，0），∴设抛物线的解析式为y＝ax 2＋bx 把A（2，0），C′（3，）代入，得 解得a＝，b＝－ 3分 ∴抛物线的解析式为y＝x 2－x 4分 （3）∵∠ABF＝90°，∠BAF＝60°，∴∠A