2013年高中数学教学论文“直线与平面”错解点击.doc

本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考 “直线与平面”错解点击 在“直线与平面”中，为了研究直线与直线之间，直线与平面之间，平面与平面之间的各种关系，引进了一些基本概念和数学方法，例如“异面直线”，“直线与平面所成的角”、“二面角”等概念，反证法、同一法等方法，对于这类特定的概念理解不准确，对这些方法的掌握存在某些缺陷，解题时就容易出错． 下面通过几例，对产生错误的解法进行分析，研究纠正错误的方法，从中吸取有益的教训，以加深对知识的理解，提高解题能力． 例1 证明；斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上． 错解 如图, 对于平面，直线AB是垂线，垂足B是点A的射影；直线AC是斜线，C是斜足，直线BC是斜线AC的射影． 在AC上任取一点P，过P作PO⊥交BC于O， ∴点P在平面上的射影在BC上． 点击 这样的证明似乎有点道理，事实上这些点也是在这条斜线在该平面的射影上，但仔细分析，这些点在这条斜线在该平面的射影上的理论根据不足，过点P作PO⊥交BC于O，恰恰是本题要证明的．是一种易犯的逻辑错误，许多同学在解题中往往错而不觉，对此应引起警觉． 正解AC是平面的斜线，点C是斜足，AB⊥，点B是垂足． 则BC是AC在平面上的射影． 在AC上任取一点P，过点P作PO⊥,垂足O． ∴AB⊥， ∴PO ∥AB， ∵点P在A、B、C三点确定的平面上，因此，PO平面ABC， ∴∈BC． 例2 已知、是两个不重合的平面， ①若平面⊥平面，平面⊥平面，则平面∥平面； ②若平面内不共线的三个点到平面的距离相等，则平面∥平面； ③a、b是平面内的两条直线，且a∥，b∥，则平面∥平面； 以上正确命题的个数为( )． (A)O个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 错解 三个命题都正确，选(D)． 点击 产生错误的原因是对问题不能全面的分析，缺乏把握空间元素位置关系的能力，不是用特殊代替一般，就是用一般统盖“特殊”．如判断①、②是真命题，只是考虑了图1与图2的情况，而忽略了图3与图4的情况． (3) (4) 而判断③是真命题，则是对平面与平面平行的判定定理：“如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行”没有真正理解，用任意两条直线代替了定理中的特指条件“两条相交直线”． 正解 因为三个命题都不正确，所以选(A)． 例3 如图E1、E、F、F、G、G、H、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的三等分点，求证：EH1，与FG2是异面直线． 错证1 (直接法) ①连BD，由题设，， ∴ EH1与BD不平行，设其交点为P， 则P∈BD． ∵ =, 则 FG2∥BD，∴ PFG2． ②又EP平面BCD，且E∈E1P， ∴ E平面BCD． 故平面BCD内一点P与平面BCD外一点E的连线EP(即EH1)与平面BCD内不过P点的直线FG1是异面直线． 错证2(反证法) 设EH1与FG2不是异面直线，则EH与FG相交或EH1∥F1G2． ①设EH1 ∩F1G2=P， ∵EH 平面ABD，FG 平面CBD， 则EH1与FG2的公共点P应在平面AB与平面CBD的交线BD上， 则FG2∩ BD=P，这与FG2∥BD (∵△CBD中，=)矛盾， ∴ E1H1与FG2不相交． ②设EH1∥F1G2， ∵ FG2∥BD，由公理4知 E1H1∥BD，这与EH1 BD=P(∵在△ABD中，，，∴EH1与BD不平行，必相交于一点P)矛盾， ∴ E1H1与F1G2不平行． 综合(1)、(2)知EH1与FG2是异面直线． 点击 采用证法1时，有些同学往往忽略强调点P在平面CBD上但不在直线FG2上，且点E在直线EP上但不在平面CBD上，只证EH1与FG2无公共点的一面，而忽视它们不在同一平面上，便得出EH1与FG2是异面直线的结论，这是对其判定定理的片面理解，因而是错误的． 在采用证法2时，易犯的错误也是不全面，只排除了EH1与FG2不可能相交而忽略了还应排除它们平行的可能．因此，一定要深刻理解异面直线的定义，克服证题中的片面性． 例4 在正方体ABCD—AB1C1D1中，求它的对角线BD与平面AB1CD所成的角． 错解 连结