55最小费用最大流问题.pptVIP

(3)第四次迭代 ①扩展费用网络 ②用Ford算法求最短增广链，路线是vs—v3—v4—vt vs v2 v3 v4 v5 vt * 5-5 最小费用最大流问题 一、基本概念 1、什么是最小费用最大流问题？ 对每一条弧都给出单位流量费用的容量网络D=（V，A，B）（称为费用容量网络）中，求取最大流X，使输送流量的总费用 C（X）=∑cijxij为最小的一类优化问题。 其中，bij表示弧（vi，vj）上的容量，xij表示弧（vi，vj）上的流量，cij表示弧（vi，vj）上通过单位流量所花费的费用。 2、最小费用流 对一费用容量网络，具有相同流量 f 的可行流中，总费用最小的可行流称为该费用容量网络关于流量 f 的最小费用流，简称流量为 f 的最小费用流。 3、增广链的费用 当沿着一条关于可行流 X 的增广链（流量修正路线）μ，以修正量ε=1进行调整，得到新的可行流 ，则称C（ ）- C（X）为 增广链μ的费用。 ②增广链μ的费用就是以单位调整量调整可行流时所付出的费用； ③当修正量ε=1时， 此时， ① 的流量 f( ) = f(X)+1； C( )-C( X )= 二、求解最小费用最大流问题的对偶法 1、求解途径： （1）始终保持网络中的可行流是最小费用流，然后不断调整，使流量逐步增大，最终成为最小费用的最大流； （2）始终保持可行流是最大流，通过不断调整使费用逐步减小，最终成为最大流量的最小费用流。 2、算法原理 （1）定理 若X 是流量为f(X)的最小费用流，μ是关于X 的所有增广链中费用最小的增广链，那么沿着μ去调整X得到的新的可行流 就是流量为 f ( )的最小费用流。 （2）实现思路 基于第一种求解途径，根据上述定理，只要找到最小费用增广链，在该链上调整流量，得到增加流量后的最小费用流。循环往复直至求出最小费用最大流。 对偶法原理和步骤 求最大流 Ford算法找从vs到vt的最短增广链 调整流量 得费用最小的可行流 将0流作为初始可行流 Yes 绘制扩展费用网络 No 流量等于最大流? 得最小费用最大流 确保流量最大 确保费用最小 实施中的关键 构造增广费用网络图（即扩展费用网络图），借助最短路算法寻找最小费用增广链。 为什么? 理由: 正向饱和弧不标记,反向零流弧不标记。 —不构造增广费用网络,就无法调整流量 (1)饱和弧,流量无法减小; (2)非饱和弧,流量只能增加,不能减小; 增广链流量调整：正向弧增加流量 ，反向弧减少流量 。 零流弧上 Wij = cij 原有弧（流量可以增加） ∞ 后加弧（流量不能再减少） 饱和弧上wij = ∞ 原有弧（流量不能再增加） -cij 后加弧（流量可以减少） 非饱和且非零流 (0xijbij)弧上 cij 原有弧（流量可以增加） -cij 后加弧（流量可以减少） Wij= 增广费用网络图的构造方法 将网络中的每一条弧（vi, vj）都变成一对方向相反的弧，以形成四通八达的“路”，权数定义如下： 将上述思想加以简化，出现∞处相应的弧不画，按下面的方法具体构造增广费用网络图： 零流弧上，保持原弧不变，将单位费用作为权数，即wij= cij: Vi Vj 原网络 Vi Vj 增广费用网络 非饱和弧上 ，原有弧以单位费用作权数，后加弧（虚线弧）以单位费用的负数作权数（p167更正）： Vi Vj 原网络 Vi Vj 增广费用网络 饱和弧上 ,去掉原有弧,添上后加弧(虚线弧),权数为单位费用的负数： Vi Vj 原网络 Vi Vj (bij, -cij) 增广费用网络 于是，在容量网络中寻找最小费用增广链就相当于在增广费用网络图（扩展费用网络图）中寻找从发点到收点的最短路。 注意 将找到的最短路还原到原网络图中（虚线弧改成原图中的反向弧）。 3、步骤： 第一步---用Ford-Fukerson算法求出该容量网络的最大流量fmax； （本步骤的作用是什么？） 第二步--- 取初始可行流为零流，其必为流量为0的最小费用流（为什么？） 第三步 --- 一般为第k-1次迭代，得一最小费用流X(k-1) ，对当前可行流构造增广费用网络图W(X(k-1))，用最短路算法求出从发点到收点的最短路。 若不存在最短路，则X(k-1)即最小费用最大流，停止迭代； 否则，转下一步。 第四步---将最短路还原成原网络图中的最小费用增广链μ，在μ上对可行流X(k-1)进