2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案第56讲解析法证几何题.docVIP

第6讲 解析法证几何题 0，但也不可死搬教条，对于一些“地位平等”的点、线，建系设点坐标时，要保持其原有的“对称性”． A类例题 例1．如图，以直角三角形ABC的斜边AB及直角边BC为边向三角形两侧作正方形ABDE、CBFG求证：DC⊥FA． 分析 只要证kCD·kAF－1，故只要求点D的坐标． 证明 以C为原点，CB为x轴正方向建立直角坐标系．设A(0，a)，B(b，0)，D(x，y)．AB的方程为axby－ab0． 直线BD的方程为bx－ay－(b·b－a·0)0，即bx－ay－b20． ED方程设为axby＋C＝0．由AB、ED距离|AB|，得 ，C＝±(a2＋b2)－ab．如图，应舍去负号． ED方程为axby＋a2＋b2－ab0．解得xb－a，y－b．(只要作DH⊥x轴，由△DBH≌△BAC就可得到这个结果)．即D(b－a，－b)． kAF＝，kCD，而kAF·kCD－1．DC⊥FA．2．自ΔABC的顶点A引BC的垂线，垂足为D，在AD上任取一点H，直线BH交AC于E，CH交AB于F．试证：AD平分ED与DF所成的角． 证明 建立直角坐标系，设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，H(0，h)，于是 BH：＋＝1AC：＋＝1 过BH、AC的交点E的直线系为：λ(＋－1)＋μ(＋－1)＝0． λ＋μ＝0．分别取λ＝1，μ＝－1，有x(－)＋y(－)＝0． 所以，上述直线过原点，这是直线DE． 同理，直线DF为x(－)＋y(－)＝0． 显然直线DE与直线DF的斜率互为相反数，故AD平分ED与DF所成的角．3．证明：任意四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和再加上对角线中点连线的平方的4倍． 证明 在直角坐标系中，设四边形四个顶点的坐标为A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)，A4(x4，y4)．由中点公式知对角中点的坐标为B(，)，C(，)． 则 4(－)2＋(x1－x3)2＋(x2－x4)2 ＝(x1＋x3－x2－x4)2＋(x1－x3)2＋(x2－x4)2 ＝2(x＋x＋x＋x－x1x2－x2x3－x3x4－x4x1) ＝(x1－x2)2＋(x2－x3)2＋(x3－x4)2＋(x4－x1)2， 同理有4(－)2＋(y1－y3)2＋(y2－y4)2 ＝(y1－y2)2＋(y2－y3)2＋(y3－y4)2＋(y4－y1)2， 两式相加得： |A1A2|2＋|A2A3|2＋|A3A4|2＋|A4A1|2＝4|BC|2＋|A1A3|2＋|A2A4|2． 说明 本题纯几何证法并不容易，而采用解析法，只需要简单的计算便达到目的．另外本例中巧妙地抓住了各点的“对称性”，设了最为一般的形式，简化了计算． 情景再现 1．如图，⊙O的弦CD平行于直径AB，过C、D的圆的切线交于点P，直线AC、BC分别交直线OP于Q、R． 求证：|PQ|＝|PR|． 2．自圆M外一点E作圆的切线，切点为F，又作一条割线EAB，交圆M于A、B，连结EF的中点O与B，交圆M于D，ED交圆M于C． 求证：AC∥EF． 3．CH是ΔABC中边AB上的高，H为垂足，点K、P分别是H关于边AC和BC的对称点． 证明：线段KP与AC，BC(或它们的延长线)的交点是ΔABC高线的垂足． B类例题 例4．P、Q在ΔABC的AB边上，R在AC边上，并且P，Q，R将ΔABC的周长分为三等分求证：＞． 证明 如图，以A为原点，直线AB为x轴，建立直角坐标系． 设AB＝c，BC＝a，CA＝b，Q(q，0)，P(p，0)． 则q－p＝(a＋b＋c)，AR＝PQ－AP＝q－2p， 从而＝＝． 由于2SΔPQR＝yR(q－p)，2SΔABC＝xByC， 所以＝＝． 注意到p＝q－(a＋b＋c)＜c－(a＋b＋c)， 所以q－2p＞(a＋b＋c)－c＞(a＋b＋c)－(a＋b＋c)＝(a＋b＋c)， ＞·＞·＞． 本题中是不可进的，取b＝c，Q与B重合，则当a0时，pq，面积比．H是锐角三角形ABC的垂心，由A向以BC为直径的圆作切线AP、AQ，切点分别为P、Q． 证明：P、H、Q三点共线．(1996年中国数学奥林匹克) 证明 如图以BC为x轴BC中点O为原点建立直角坐标系． 设B(－1，0)，C(1，0)，A(x0，y0)， 则PQ方程为x0x＋y0y＝1． 点H的坐标为H(x0，y)，满足·＝－1， 即 y＝， 显然H满足PQ方程，即H在PQ上． 从而P、H、Q三点共线． 例6．设A、B、C、D是一条直线上依次排列的四个不同的点，分别以AC、BD为直径的两圆相交于X和Y，直线XY交BC于Z．若P为直线XY上异于Z的一点，直线CP与以AC为直径的圆相交于C和M，直线BP与以BD为直径的圆相交于B和N． 试证：AM、DN、XY