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彩虹背后的数学 Marianne Freiberger 关键词：?折射率,?彩虹线,?Snell定律 当伟大的数学家艾萨克?牛顿解释彩虹的颜色与折射时，诗人约翰?济慈吓坏了。济慈抱怨（当然通过诗），数学解释打劫了这些魔幻般的“所有规则和线条的奥秘”的自然奇观。但是，正如我们下面将看到的，数学解释只需要基本的几何线条和圆圈，漂亮的数学原理和彩虹本身是一样的优雅。 因折射而弯曲 彩虹的颜色是因光折射而分裂成的一个结果，就像光线通过棱镜照射时所发生的那样。从太阳上来的白光是不同频率电磁波的组合。当这些频率的组合在同一时间到达你的眼睛时，你就能看到白色，当你的眼睛捕捉到其它的波时，你就会感知另一个特定的颜色。 约670至780兆赫频率之间的光波被视为紫罗兰色调，光谱的另一端是波频率在约400至480赫兹之间，它给出了不同深浅的红色知觉。而所有其它颜色均来自这两个频段之间的频率。一般来说，人眼不能感知所有频率的电磁波。 可见光谱从紫色（左）到红色（右） 图1：一条光线被折射，反射，然后再次折射。 当太阳光通过一个真空（很好的近似是通过空气），所有频率以每秒约30万公里的相同速度行进。当光线入水时，频率不变因而颜色也保持不变。然而，它的速度会改变，其数额取决于频率。这是因为水的原子结构与不同频率的波的相互作用不同。频率为的光的速度放缓的一个度量由折射率给出。它的值不仅取决于频率，也取决于光线进入的介质（在这种情况下，是水，并用下标所示）。该指数被定义为 光在真空里的速度频率的光在水中的速度 图2：不同频率的光有不同的折射 图3：包含入射光线和折射光线的水滴的横截面。Snell定律表明角度α和β有关系。 这里和是如图3所示的角度，和是频率为的光分别在空气和水中的折射率。由于空气非常类似真空，它的折射率对所有的频率几乎等于1。因此，如果光线以角度碰到液滴，则折射率为1.33的红光对应的角度为 上面的结果四舍五入到小数点后两位。折射率为1.34的紫外线光有 正是这些不同频率的光导致的不同折射角度，给出了彩虹的不同颜色。 捕捉彩虹光 但是，为什么我们看到的颜色形成一个完美的圆弧？要了解彩虹的形状，我们假定来自太阳的光可以看成一束平行光线并射向一个特定的水滴。使用Snell定律和反射律（即入射角等于反射角），我们可以计算出一根射线偏离它第一次进入液滴时的角多少。换句话说，当它被折射、反射，然后再折射后以什么角度转向（见图4）。这个角度当然因不同频率或不同颜色的光而异。 图4：算出的角度偏差 给出。从Snell定律，我们可以在上式中作替换 这里我们把空气的折射率取为1。图5显示了的图像，这里对某一特别选取的红光阴影取折射率。注意在左右某个处它取一极小值。 图5：DF()的图像 图6：图中彩虹线以红色表示。来自水滴的一簇光线在彩虹线周围出现，而其它地方出现的光线则更加分散。 图7:区间小于区间 色彩锥 很多个液滴形成了天空中的众多红点，由这些你的眼睛就能捕捉到所引出的红色彩虹线。为了看到在天空中的这些液滴相对于你在哪里，让我们先算出的精确值。解方程找到最小点 （细节可见另一链接）。 对于我们特别选取的红光阴影，代人给出，以及。 现在，如果从一个液滴出现的的一条彩虹线到达你的眼睛，那么这意味着出现的光线与图8所示的直线形成一个角度。这根光线延自于直接通过你眼睛的阳光线（请记住，我们假定来自太阳的光线是平行的）。让我们把称为彩虹角。当然，它依赖于频率，因此也依赖于颜色。 图8：由水滴偏离而来的彩虹线与直线L形成了一个42.52度的倾斜角。 图9:你看到的在天空发光的水滴位于一个圆锥体的表面。 这种解释也说明为什么背朝太阳站着时你只看到一道彩虹：这是你可以捕捉来自于液滴的彩虹光线的唯一途径。这也解释了为什么彩虹下面的天空显出比上面的更明亮。由于绝大多数的光线离开液滴后高于彩虹线（见图6），你不会捕捉到彩虹“上面”来自水滴的任何光线（即位于各种颜色的锥的外面）。所以你看不到任何源自这些水滴的反射光。然而，你的眼睛能捕捉到来自水滴彩虹“下面的”的反射光（位于锥体内的水滴）；鉴于此，彩虹下面的天空显得更亮，它以白光出现，因为从不同的水滴来的不同颜色的非彩虹光线混合在一起会成为白光，并进入你的眼睛。 彩虹几何也表明，任何你看到的彩虹是你的，也仅仅是你的，虽然站在你旁边其他人也会看到彩虹，但它一般会来自不同的水滴，因此这将是一个不同的彩虹。 如果你是幸运的，有时候你可能会在略高于主彩虹处看到暗淡一点的第二个彩虹。这个副虹是水滴内光线两次反射的一个结果。在这种情况下，各种颜色的彩虹角度约为51度，这是为什么副虹在天空看上去高一点的原因。双反射也意味着副虹的颜色以相反的顺序出现，底部为红而顶部为紫。下面是笛卡儿所作的原始草图，他天才地首先解释了