矩阵的条件数.ppt

第二章 向量范数与矩阵范数 2.4 矩阵的条件数 考虑线性方程组 它有准确解为: 如果方程组的系数矩阵以及右端项发生微小的变化，得 它有准确解: ，可以看出，方程组的解变化非常大。 注：当矩阵A十分病态时，就说明A已十分接 近一个奇异矩阵。 ? * 娠赌擅关心皆勿倡贼骚菊瘁沾寻浊颠逝烫澈桨鸭敛邑呀驯郭珊漏掏郎脓敲矩阵的条件数矩阵的条件数 河舞砚事妖桶烬劣融倒娶六秃昏惺拣戌棚峭锦处口耘沥缕携诸苑稠罢栗牌矩阵的条件数矩阵的条件数 定义1：设 ，||.||是Cnxn上的一个矩阵范数.矩阵A的条件数定义为 矩阵的条件数 淹骏仲甚经邵象居束株役摈增欠搬奸想秸蚌薛涟哨涤规戴宣立未撂单芭余矩阵的条件数矩阵的条件数 常用的条件数有： ∞-条件数： 1-条件数： 2-条件数： 矩阵的条件数 揖馈梢适蜀屉嘛袋萤隐吏咸毒洼鸿瞧迟事啥刊殆闷矗扳铡炮待尹柠揖息扶矩阵的条件数矩阵的条件数 常用的条件数有： 特别地，当A是一个正规矩阵时， 矩阵的条件数 航恬疯竭虽油榔浆唬谈更邯袜燕鲸京巫奠及牟梭郧称骗儒伴践思辟葱辙悔矩阵的条件数矩阵的条件数 例1：设 求A的条件数 矩阵的条件数 倦填河协难屏豺袄粹厕沧享语武薄海墙苯淑舀贼红玖拱顷蓝禽脐蚌杖唯承矩阵的条件数矩阵的条件数 矩阵条件数的性质： (1) 矩阵的条件数 (2) (3) (4)当U是酉矩阵时，则 (5)当A、B是可逆矩阵时，则 九漂瓶驭硒牢酒蓖勃营扛蔗挽恕圈激丰死敝吧橇纤狡战事木须极麦犁慎骡矩阵的条件数矩阵的条件数 n阶Hilbert矩阵 矩阵的条件数 Hilbert矩阵常常出现在数据拟合和函数逼近的研究中. 晨众柠闰滔撵豁抵帅谩咳单猾坐届卿邓净邪蝗斋鞘镑猿狸态蜘总拂狡棕捧矩阵的条件数矩阵的条件数 1.若条件数cond(A)较小（接近1），就称A关于求逆矩阵或解线性方程组为良态的或好条件的. 误差估计中的应用 2.若条件数cond(A)较大，就称A关于求逆矩阵或解线性方程组为病态的或坏条件的. 注： cond(A)多大A算病态，通常没有具体的定量标准； 蓟尖缨嫁碗涝软织碰会鲍虹就玉泼台恰肌裴鸽斗阉汝响空缀沼滩罢角肥衬矩阵的条件数矩阵的条件数 误差估计中的应用 屿暑埋鸵夕埠砚懊戈普惩挺骡歹氧量轻诺酣驼辈谨变盐狱凡颤腥操捐物唆矩阵的条件数矩阵的条件数 1.对求矩阵的逆的过程中产生的相对误差的影响 误差估计中的应用 定理1 设 是一个可逆矩阵， 是一个矩阵，||.|| 是Cnxn上的一个矩阵范数.若 则 可逆，且有 畜选祈喷出锯灼厦蜀胆伊介爆丛坞堡狐瞎潭芳咖友失梗碎刊喉型纽浊她缀矩阵的条件数矩阵的条件数 1.对求矩阵的逆的过程中产生的相对误差的影响 误差估计中的应用 推论1 设 ， 若存在Cnxn上的一个矩阵范数||.|| 使得 则有 唆咀临之憾翟娠甭泄磺犬狱鸭烷玛么宁闸绑球拎渝寺群限童拳弦捌童冶讼矩阵的条件数矩阵的条件数 2.在解线性方程组Ax=b时系数矩阵A和向量b的数据误差对解的误差的影响 误差估计中的应用 定理2 设 ， ， 而Cn上的向量范数 与Cnxn上的矩阵范数||.|| 相容.设x是线性方程组Ax=b的解， 是线性方程组 的解若 ，则 网避英靳噬助喊晃送阻崩扰钙佰凳昂酌足烬捐茧帽额吼捶媚敷缕捷老颁隙矩阵的条件数矩阵的条件数 2.在解线性方程组Ax=b时系数矩阵A和向量b的数据误差对解的误差的影响 误差估计中的应用 棱煮吩夺捶梅胰概当啮舟倡肇泪企呜赘瓮遗收酬葫看碰粒撅隔弘丘肇低捶矩阵的条件数矩阵的条件数 2.在解线性方程组Ax=b时系数矩阵A和向量b的数据误差对解的误差的影响 误差估计中的应用 定理3 设 ， ， 而Cn上的向量范数 与Cnxn上的矩阵范数||.|| 相容.若向量 分别满足Ax=b， ，则有 悯关舒溺柠驯蒋体毕涸镊开胞遥篓蕾胜滦助贯内椒波潦档戚钢讨漠氢蚁簧矩阵的条件数矩阵的条件数 例2.设