第二章导数与微分2.1导数的概念2.2函数的和、差、积、商.ppt

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第二章导数与微分2.1导数的概念2.2函数的和、差、积、商

第二章 导数与微分 2.1 导数的概念 2.2 函数的和、差、积、商的求导法则 2.3 复合函数的求导法则 2.4 隐函数的导数 2.5 初等函数的导数 ﹡2.6 导数的经济定义 2.7 高阶导数 2.8 函数的微分 例6 求函数f(x)=x3的导数. 例2 设 ,求 解 法一 利用微分的定义 解 法二 利用微分形式不变性 2.8函数的微分 首页 上页 下页 2.3复合函数的求导法则 例7 求函数 的导数. 解 例8 证明幂函数的导数公式: 证 首页 上页 下页 2.4 隐函数的导数 我们把由方程 所确定的函数叫作隐函数. 例1 求由方程 所确定的隐函数的导数 解 自变量x和函数y之间的函数关系用明显的表达式给出的函数,叫做显函数. 利用复合函数的求导法则,方程两端同时对x求导数,得 在方程中,将y看作x的函数,则是x的复合函数. 首页 上页 下页 2.4隐函数的导数 例2 求由方程 所确定的隐函数的导数 解 方程两端对x求导数,得 例3 求椭圆 在点 处的切线方程. 解 所求切线斜率为 方程两边对x求导,得 首页 上页 下页 2.4隐函数的导数 将 代入上式,得 于是所求切线方程为 即 例4 求幂指函数 的导数. 解 两边取对数,得 两边对x求导,得 先取对数,再利用隐函数的求导法求导的方法叫做对数求导法. 对数求导法 首页 上页 下页 2.4 隐函数的导数 例5 的导数. 解 例6 求函数 的导数. 解 两边取对数,得 两边对x求导数,得 首页 上页 下页 例7 求函数 2.4 隐函数的导数 的导数. 解 两边对x求导数,得 首页 上页 下页 例8 求函数 的导数. 解 类似地,可求得 2.4 隐函数的导数 两边对x求导数,得 首页 上页 下页 2.5 初等函数的导数 1. 导数的基本公式 2. 函数的和、差、积、商的求导法则 3. 复合函数的求导法则 首页 上页 下页 2.5 初等函数的导数 1. 导数的基本公式 首页 2.5 初等函数的导数 2. 函数的和、差、积、商的求导法则 3.复合函数的求导法则 首页 上页 下页 例1 设 ,求 解 例2 设 ,求 解 2.5 初等函数的导数 首页 上页 下页 2.5 初等函数的导数 例3 设 ,求 解 例4 设 ,求 解 首页 上页 下页 ﹡2.6导数的经济意义 1. 边际分析 2.函数的弹性 首页 上页 下页 ﹡2.6导数的经济意义 1. 边际分析 一般地,设函数 可导,则导数 叫作边际函数. 成本函数 的导数 叫作边际成本,收入函数 的导数 叫作边际收入,利润函数 的导数 叫作边际利润. “平均” “边际” 首页 上页 下页 例1 某产品生产x个单位的总成本C为x的函数 求:(1)生产1000件产品时的总成本和平均单位成本 (2)生产1000件产品时的边际成本 解 (1)生产1000件产品的总成本为 每件产品的平均成本为 (2) ﹡2.6导数的经济意义 首页 上页 下页 ﹡2.6导数的经济意义 例2 某企业每月生产的总成本C(千元)是产量x(吨)的函数 如果每吨产品销售价格2万元,求每月生产8吨、10吨、15吨、20吨时的边际利润. 解 首页 上页 下页 2.函数的弹性 定义 设函数 可导,函数 在x处的增量为 ,自变量的增量为 ,则比值 分别称为在点x处函数y的相对改变量及自变量x的相对改变量. 当 时,两个相对改变量之比的极限 ﹡2.6导数的经济意义 首页 上页 下页 ﹡2.6导数的经济意义 表示在点x处函数y的相对变化率,称为函数y=f(x)在点x处的弹性, 记作 经济学中,把需求量对价格的相对变化率称为需求的价格弹性. 例3 某部门对市场上某种商品的需求量Q与价格P之间的关系进行研究后,建立了下面的函数关系 试求在 、 、2(元)的价格水平下,需求的价格弹性. 首页 上页 下页 ﹡2.6导数的经济意义 解 首页 上页 下页 ﹡2.6导数的经济意义 例4 某商品的需求函数为 (1)求需求的价格弹性. (2)讨论当价格为多少时,需求是单位弹性、低弹性和有弹性的? 解 (1) (2) 首页 上页 下页 2.7 高阶导数 如果函数 的导函数 仍然可导,则我们把 的导数叫作函数 的二阶导数,记作 即 一般地, 的 阶导数的导数叫作 的 阶导数,分别记作 首页 上页 下页 例1 求函数 (a,b,c,为常数)二阶导数. 解 对 依次求导,得 例2 设 ,求 解 2.7 高阶导数 二阶及二阶以

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