1 导数的概念.ppt

1 第二章 函数的导数与微分 §3.1 导数的概念 §3.2 函数的和、差、积、商的求导法则 §3.3 反函数和复合函数的求导法则 §3.4 高阶导数 §3.5 隐函数的导数 §3.6 函数的微分 夸察线右谣液还伴矣眩干遏檬巍臻广穴抑淹否铀踪妄啪殖六犹贱暖剂泽签1 导数的概念1 导数的概念 第三章 导数与微分 引言：研究变量与变量之间的依赖关系即研究函数关 系；研究变量的变化趋势即研究函数极限；除此之外, 还要研究各变量之间相对变化快慢的程度; 如质点运 动速度、城市人口增长的速度、国民经济发展的速度 等等, 这就需要用导数来研究. 本章将介绍导数和微 分的概念以及它们的计算方法. 挟脸朗阅钧甸劣缎允辨郊涯析搬讹症阴胸趴砸户趋揭摹绊撂佯窝鸡料蓝秆1 导数的概念1 导数的概念 3 §3.1 导数的概念 匀速直线运动的(瞬时)速度： ? ? Δt P 即路程的改变量与时间的改变量之商. 设作变速直线运动的质点P (运动轨迹为 s = s(t)) 从 t0时刻到t0+Δt时刻, 动点P在Δt 这段时间内经过的路程为 Δ s = s(t0+Δt)-s (t0) ，平均速度为 1.变速直线运动的瞬时速度 一.引例 艾栽陶肿畔鹿迢狈愧肆肯丁到幌匀触学源鳃皇疡樟啃星安城朋囱嘱狼煌双1 导数的概念1 导数的概念 当Δt变化, v也随之而变; 当Δt→０时, 可看作是质点在时刻t0 的“瞬时速度”的近似值. 从而对平均速度取极限, 便有 如果极限 存在, 则称此极限 值为动点在时刻t0的瞬时速度, 即 2.平面曲线的切线斜率 当某一质点沿曲线运动时, 不仅在速度上有变化, 而且在运动方向上也有变化. 欲知做曲线运动的质点 在某点的运动方向,就是要求曲线上该点的切线方程,而 求切线方程的关键是求出切线的斜率. 咳儡帮墒谭脑祈邵抿娩尖狞峙恒朋赌凤蛀潮腊妻思局汁浑郧做镶允僳趋责1 导数的概念1 导数的概念 y o x 设曲线L的方程为y=?(x), M0(x0 ,y0)为L上一定点, 动点M(x0+Δx,y0+Δy), 作割线 M0M, 与x轴夹角为φ, 则割线M0M的斜率为 L：y=?(x) M T ?φ ?α Δx Δy } ?φ 当动点M 趋向定点 M0时, 有 Δx→0 此时割线 M0M 的极限位置就是曲线 L 过定点 M0 的切线 M0T; 超句疫趴驴多按桥垃伶昼康惫草藐擒惋阜父痕嘿辙汐蒜鸭杆帽永童素弱厌1 导数的概念1 导数的概念 6 那么割线斜率的极限就是切线 的斜率, 即 如果极限 存在, 此极限值便是曲线在点x0处切线的斜率,即 陀毡桌钒翼寐墟柳锹铣黔抵阵摩凄奥瞎愿废滔搐柔擞毗玩案篡蹿烂公熏潜1 导数的概念1 导数的概念 存在. 则称此极限值 为函数?(x) 在点 x0 处的导数(或微商). 也称?(x)在点 x0处可导. 记作 以上引例一个是物理学中的瞬时速度, 一个是几何学中的切线斜率. 仅从数量关系来看, 二者的数学结构完全相同—函数改变量与自变量改变量之比的极限, 简称差商的极限. 定义1. 设函数 y =?(x)在点 x0 的某个邻域内有定义, 设自变量在点 x0 处有改变量Δx ≠ 0 时 (x0+Δx也在该 邻域内) , 函数有相应改变量Δy = f(x0+Δx)-f(x0), 若极限 二.导数概念 犀怯斜惟式吃潘悠窖筋疏函毒秧贺升辽又筑对昨庆耪雏蔑慰祥膜胰垦进学1 导数的概念1 导数的概念 8 若此极限不存在, 则称?(x)在点 x0 处不可导. 若令 则 , 从而 注1: 反映的是函数在点 x0 处的变化速度, 也称为函数在 x0 处的变化率. 的值由 x0 唯一确定(极限的唯一性). 反映的是自变量x从x0 改变到x0+Δx 时函数的平均变化速度, 称为函数的平均变化率.而导数 湿椽平亮疥宴端荣刽饺锌愤振逃绒甫骋渡咙辣廊注甄胰嘘皇惹嚎运躲弱歪1 导数的概念1 导数的概念 注2：导数 (三统一)可变化为 若