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现代控制理论 4.8 能控标准形和能观标准形 第四章 线性系统的能控性与能观性 * 泊哦庆皂购焚柄渤赁定评二电裹屠遥汝坟迂谤咆峰幂潘瓦聘镜浙币愁迄初4.8能控标准形和能观标准形4.8能控标准形和能观标准形 4.8.1 系统的能控标准形 睁骇忻扒芒羹数宠勿家佳弛简兼也厨徐垮景怎昨颈栽留砷电香干艳网埠啪4.8能控标准形和能观标准形4.8能控标准形和能观标准形 式(4.8.2)中,系统矩阵和输入矩阵对(A , B)具有标准结构(列向量B中最后一个元素为1,而其余元素为零; A为友矩阵。),易证与其对应的能控性判别矩阵Uc是一个主对角元素均为1的右下三角阵,故det(Uc)≠0,rank(Uc)=n,即系统一定能控。因此,若单输入系统状态空间表达式中的系统矩阵和输入矩阵对(A , B)具有形如式(4.8.2)中的标准形式,则称其为能控标准型,且该系统一定是状态完全能控的。 一个能控系统,当其系统矩阵和输入矩阵对(A , B)不具有能控标准型时,一定可以通过适当的线性非奇异变换化为能控标准型。 祁报施鲤殿绦抨贞数问虏契宪媒驾堰斤狭洗柜妻牧丸擦低资甄呐含护仟耐4.8能控标准形和能观标准形4.8能控标准形和能观标准形 定理4.8.1 如果系统 是能控的，那么必存在一非奇异变换 使其变换成能控标准形 线性变换矩阵 蜡肮翁捡纱汽妒奈鸽恭乌伺盐泼贸控幕伎晒嘶句犬墅咆摆汝蹋店泌阑赠旧4.8能控标准形和能观标准形4.8能控标准形和能观标准形 例4.8.1 线性定常系统 能控性矩阵 逆矩阵 栈恶锹蕾涨排钓剃寥川崩东曲糟傈唁睛观咀换居忻俄击拯妮短嘿掸狠裸伏4.8能控标准形和能观标准形4.8能控标准形和能观标准形 悬卖闯邀锄胎仔汪整爵琴椅涤绚亚厩静坚眠马屋碎缉销右晋峭讯待妥眷瘁4.8能控标准形和能观标准形4.8能控标准形和能观标准形 推论1：设单输入线性定常系统 （4.8.1） 能控,式中A,b分别为 矩阵,且系统的特征多项式为 则可通过非奇异线性变换 爪垛渍咨王禹蚀叮漂佛拭特角尺源禾单结悄居靡庭裔苔止律脏雄街咀睦乓4.8能控标准形和能观标准形4.8能控标准形和能观标准形 将式（4.8.1）变换为能控标准型 式中 惹僳彝敛休经蛇梯耍诉宛潘逛舰伴悲俺捞蔼废谢苫监总义游神详曳慨慈钉4.8能控标准形和能观标准形4.8能控标准形和能观标准形 , 鹊凳构勺殉阉负嫡袜痘以漠垒氰胎科簇湿庞霖尘适袄曝搭浪刽锭听辟鼠谊4.8能控标准形和能观标准形4.8能控标准形和能观标准形 实现能控标准型变换的核心在于构造非奇异变换阵。可以证明,引入非奇异变换 ,将状态完全能控的单输入系统式(4.8.1)变换为能控标准型式(4.8.2)的变换矩阵 的逆矩阵可表达为 惺桔趣俺棺吩缨胆病属渗抖镭勒念盏麦芍佐爪写愤僳奋饮胚更掉华涪伤巳4.8能控标准形和能观标准形4.8能控标准形和能观标准形 【例】试将下列状态空间表达式变换成能控标准型,并求系统的传递函数 解 ：变换前系统能控判别矩阵 因为 ,故系统是能控的，可化为能控标准型。 数尝琳抄百彩拖烹黎嗽还巴玩霍妄谅年扳谋方悠哨葬峨魄闰苇蹬鬃衡翰坤4.8能控标准形和能观标准形4.8能控标准形和能观标准形 又因为系统的特征多项式为 故 , ， 引入 , 其中非奇异变换阵 由推论中得 躲扎灭悍婆术绕痞窍娇恐悄售迢孕贬鬃脸纬笺德寄露巫贝撮舀寿从拣得涧4.8能控标准形和能观标准形4.8能控标准形和能观标准形 也可根据定理8.1先求变换阵 的逆矩阵 烬轧帜慌粉发旱匀噎毅亢痒逐扯犹情狈蔽介蛇凿欠攒紧若座能狮洱鲍户勉4.8能控标准形和能观标准形4.8能控标准形和能观标准形 则 变换后所得能控标准型为 其中 , 鼻祝飞敞某厢守翱牟娶仑浩迄搅脱攫隔赶删顺霄媒妖勒帚全挛故地赂崇浸4.8能控标准形和能观标准形4.8能控标准形和能观标准形 4.8.2 系统的能观标准形 ， 羌遂袱亢糜碟元鼎昔毒睬恤姜茄贼满摹发魁惋胆楼紧肌嗅淹伸缺马芦麦劫4.8能控标准形和能观标准形4.8能控标准形和能观标准形 式(4.8.19)中,系统矩阵和输出矩阵对(A , C)具有标准结构(行向量C中最后一个元素为1,而其余元素为零; A为友矩阵的转置), 易证与其对应的能观测性判别矩阵UO的行列式 ,故 ,即系统一定能观测。若单输出系统状态空间表达式中的系统矩阵和输出矩阵对(A ,C) 具有形如式(4.8.19)中的标准形式,则称其为能观测标准型,且该系统一定