高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条.docVIP

校本培训系列讲座2 向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇 数学教研室 寇英龙 向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇 一、四心的概念介绍 （1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 （1）是的重心. 证法1：设 是的重心. 证法2：如图 三点共线，且分 为2：1 是的重心 （2）为的垂心. 证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足. 同理， 为的垂心 （3）设,,是三角形的三条边长，O是ABC的内心 为的内心. 证明：分别为方向上的单位向量， 平分, )，令 （) 化简得 （4）为的外心。 典型例题： 例1：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 分析：如图所示，分别为边的中点. // 点的轨迹一定通过的重心，即选. 例2：（03全国理4）是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ B ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 分析：分别为方向上的单位向量， 平分, 点的轨迹一定通过的内心，即选. 例3：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足. = = =+=0 点的轨迹一定通过的垂心，即选. 练习： 1．已知三个顶点及平面内一点，满足，若实数满足：，则的值为（ ） A．2 B． C．3 D．6 2．若的外接圆的圆心为O，半径为1，，则( ) A． B．0 C．1 D． 3．点在内部且满足，则面积与凹四边形面积之比是（ ） A．0 B． C． D． 4．的外接圆的圆心为O，若，则是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 5．是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，若 ，则是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 6．的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，， 则实数m = 7．（06陕西）已知非零向量与满足(+)·=0且·= , 则△ABC为( ) A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形 8．已知三个顶点，若，则为（ ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．既非等腰又非直角三角形 练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C 数学教研室 寇英龙 椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论） 椭 圆 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是. 若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是. 椭圆 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为. 椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式： ,( , ). 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF. AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则， 即。 若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是. 若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是. 双曲线 点P处的切线PT