量子力学习题答案.docxVIP

2.1如图所示左右 0 x设粒子的能量为，下面就和两种情况来讨论（一）的情形此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为其中其解分别为（1）粒子从左向右运动右边只有透射波无反射波，所以为零由波函数的连续性得得解得由概率流密度公式入射反射系数透射系数（2）粒子从右向左运动左边只有透射波无反射波，所以为零同理可得两个方程解 反射系数透射系数（二）的情形令,不变此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为其解分别为由在右边波函数的有界性得为零（1）粒子从左向右运动得得解得入射反射系数透射系数(2)粒子从右向左运动左边只有透射波无反射波，所以为零同理可得方程由于全部透射过去，所以反射系数透射系数2.2如图所示 E 0 x在有隧穿效应，粒子穿过垒厚为的方势垒的透射系数为总透射系数 2.3以势阱底为零势能参考点，如图所示（1） ∞ ∞左中右 0 a x显然时只有中间有值在中间区域所满足的定态薛定谔方程为其解是由波函数连续性条件得∴∴相应的因为正负号不影响其幅度特性可直接写成由波函数归一化条件得所以波函数（2）∞ ∞左 中 右 0 x显然时只有中间有值在中间区域所满足的定态薛定谔方程为其解是由波函数连续性条件得当，为任意整数，则当，为任意整数，则综合得∴当时，，波函数归一化后当时，，波函数归一化后2.4如图所示 ∞ 左 中 右 0 a显然在中间和右边粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为其中其解为由在右边波函数的有界性得为零∴ 再由连续性条件，即由得则得得除以得再由公式 ,注意到令,其中 ，不同n对应不同曲线,图中只画出了在的取值范围之内的部分6 n=65 n=5 n=4 n=3 n=2 n=1 0 n=0只能取限定的离散的几个值，则E也取限定的离散的几个值，对每个E，确定归一化条件得2.5则该一维谐振子的波函数的定态薛定谔方程为令则上式可化成令则只有当有解2.6由和已知条件可得第三章3.1能量本征值方程为即分离变量法，令则有令则同理令则式中能级简并度为3.2角动量算符在极坐标系下则由能量本征值方程 令其解为由周期性得归一化条件则 3.4由能量本征值方程令当 令 此时 满足的方程为时时只考虑时 令其解分别为由波函数有界性 得 由波函数连续性得再由公式 ,注意到令,其中 ，不同n对应不同曲线,图中只画出了在的取值范围之内的部分 6 n=6 5 n=5 n=4 n=3 n=2 n=1 0 n=0只能取限定的离散的几个值，则E也取限定的离散的几个值，对每个E，确定归一化条件得1 可求得3.5同理方差算符 则 由测不准关系代入，验证该式是成立的第四章4.1在动量表象中 ，则代入得令得 则归一化后的4.5本征方程的矩阵形式上式存在非零解的条件是即解得当再由得当 ，同样第六章6.3解：在 表象，的矩阵元为其相应的久期方程为即所以的本征值为。设对应于的本征函数的矩阵表示为，则由归一化条件，得同理可求得对应于的本征函数为6.1设在的表象下的本征函数为 ，本征值为，在的表象下的本征函数为 ，本征值为由在的表象下的矩阵得方程有非零解的条件为det=0，即 ，的本征值、本征函数有两个当时，代入得由波函数归一化条件得有同理由在的表象下的矩阵得方程有非零解的条件为det=0，即 ，的本征值、本征函数有两个当时，代入得 由波函数归一化条件得有同理6.3节的证明题在中