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郑州航空工业管理学院2009—2010学年第2学期 课程考试试卷（B）卷 课程名称： 近世代数 考试形式： 闭卷 考核对象（专业或班级）： 2007级数学与应用数学专业 学号： 姓名： 说明：所有答案请答在规定的答题纸或答题卡上，答在本试卷册上的无效。 一、填空题（本题总计 18 分，每小题3分） 1. 设，则的一一变换共有________个 模是素数的剩余类环有________个可逆元模9的剩余类环的零因子为________ 如果是一个含有16个元素的群，那么对于，元素的阶只可能是______是有理数域上的一元多项式环,则的理想=____。 6. 有理数域的商域为__________ 二、选择题（本题总计18分，每小题3分,均为单项选择） 1.下列法则，是整数集的代数运算的是( )。 A. = B. = C. = D. = 2. 下列集合对所给运算作成群的是( ) A.全体实数对数的普通加法 B.全体实数对数的普通减法 C.全体实数对数的普通乘法 D.全体实数对数的普通除法的同态满射的是( )。 A. B. C. x→-x D. 4. 设集合是群的子集，那么下面说法不正确的是( )。 A. 对任意的，则 B. 对任意的，则 C. 若，则对任意的. D. 对任意的，则 5. 模的剩余类环有( )个零因子 A.2 B.3 C.4 D.5 6. 设是一个整环，那么上的一元多项式环( ) A. 是一个除环; B. 是一个域; C. 是一个整环; D. 可能有零因子; 三、解答题（本题总计20分，每小题 5分） 1. (5分) 在实数集中定义二元运算“ｏ”如下：,问对运算“ｏ”是否作成群？试说明理由.为所有整数组成的集合关于普通加法构成的群， 找出的一个自同构（恒等映射除外）和一个非自同构的同态映射。 4. (5分) 说明整环、除环和域之间的关系，并举例说明域不一定是除环 四、证明题（本大题共6小题，总计44分） 1.（7分）假定和对于代数运算和来说同态，和对于代数运算和 来说同态。证明：和对于代数运算和来说同态。 2 （7分）证明阶为素数的群一定是循环群.两个不变子群和的交集还是的不变子群。 4 （7分）假定一个环对于加法来说做成一个循环群，证明是交换环。 5 (8分）假定是环到环的一个同态满射。证明：是与间的同构映射当且仅当的核是的零理想。 6 (8分) 设是所有偶数关于普通加法和乘法做成的环. 证明: 是的最大理想，但不是一个域。 - 2 - 试卷 编号：