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集合知识在初等数学中的应用 摘要 学习高等数学的过程中，在多门课程里都讲到了集合，特别是实变函数这门课程更是详细的介绍了集合.但反观现在集合知识在义务教育阶段只字未提，在普通高中阶段只是简单的认识了集合，对集合掌握的要求并不高。在学习了高等数学之后，我们如何才能做到“居高等数学之高”去临“中学数学之下”呢？本文从内容、原理、思想、观点和方法多方面详细的介绍了高等数学中的集合知识在初等数学中的应用. 关键词 高等数学 初等数学 集合知识 1. 集合的包含关系与命题的逻辑关系 大家知道，在数学里有四种命题关系，如表1 所示 表1. 命题 条件 结论 原命题 若有性质（有） 则有性质 逆命题 若有 则无 否命题 若无 则无 逆否命题 若无 则无 我们知道四种命题的真实性之间有一个重要的逻辑关系：互为逆否的两个命题同真或者同假；而互否（或者互逆）的两个命题却没有这个必然性.我们用集合的知识有助于我们理解四种命题真假性之间的关系. 例1 设表示“（）”，表示“函数为增函数”. 接着我们设 ={所有的函数}， =中具有性质的所有对象 =中具有性质的所有是对象. 例2 设表示“一元二次方程中”，表示“一元二次方程有实根”. 接着我们设 所有的一元二次方程， =中具有性质的所有函数， =中具有性质的所有函数. 我们把命题的四种形式用集合的包含关系表出（表2） 表2 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 若，则 若，则 若无，则无 若无，则无 在例1中原命题和逆否命题均为真命题，而否命题与逆命题均为假命题.在例2中原命题、逆否命题、否命题和逆命题均为真命题. 由集合的包含关系可知，这说明原命题与逆否命题有相同的真假性这与例1例2中原命题与逆否命题都为真相符 ，但由并不可以推出，这也与例1中原命题为真而否命题为假，例2中原命题为真但否命题为真相符.在例2中有且有按照集合关系即，表明两个命题之间是等价的.综上我们可把命题的四种形式用集合的包含关系表示出来，其中若集合之间为可包含关系则命题为真，若不可包含则命题为假. 2．用集合论语言表达理解相关概念 2.1用集合知识理解曲线方程定义 设是一条平面曲线，是一个二元方程.显然，是一个点集，我们把的解组成一个集合记为.当在平面内引入直角坐标系以后，集合对应着平面内的一个点集.很显然，只有当时，我们才能借助方程来研究曲线，从而把看作曲线的方程.而必须要求： （1）如果任意，则必有，即曲线上任意点的坐标是方程的解； （2）如果任意，则必有，即坐标是方程的解的任意点，是曲线上的点. 这样，我们应用集合的知识就说明了曲线的方程的定义中为什么要有两方面要求的道理. 例 3 设=坐标平面上以原点为中心，以为半径的圆上的所有点; =坐标适合方程的所有点} 则. 在中学阶段已经给出的证明过程，即先证这个圆上的任意点的坐标都适合方程，于是；反过来，再证坐标适合方程的任一点都在这个圆上，因此，于是. 只有证明了，才能把称为以原点为中心，为半径的圆的方程. 2.2用集合论简洁表达有关概念 例 4 若在R上定义，且在上有最大值，即对任意有.用集合论语言表示为：. 例 5 平面图形中以原点为圆心，1为半径的圆周、开（闭）圆面可分别表示为： ； ； . 例 6 表示一条直线. 例 7 解方程组则. 特别是表示概念间的层次关系，形成概念体系，用集合论的语言更为清晰.比如： ； ； ； . 3. 集合论知识对解题的指导作用 3.1对于分类计数问题，经常可以通过集合的文氏图帮助理解，提供解题思路 例 8 有篮球运动员10人，7人能打中锋，4人能打后卫.今从中选出3中锋2后卫参赛，问共有多少种出场方案？ 解 设，， 据题意可画出文氏图如图所示.设={甲}， 则按甲打中锋、打后卫不出场三种情况，可得 出场方案共有. 例 9 某班有学生45人，其中20个学生有哥哥，10个学生有姐姐，有哥哥也有姐姐的学生只有一人，求下列学生人数： （1）有哥哥没有姐姐； （2）有姐姐没有哥哥； （3）有哥哥或有姐姐； （4）哥哥、姐姐都没有. 解 设，则=. 又设分别表示集的元素的个数，由题设知 . 于是 有哥无姐学生数===201=19； 有姐无哥学生数=101=9； 有哥或有姐学生数==29； 哥姐都没有的学生数=. 3.2 对于排例组合问题构造集合，使集合和集合元素之间形成一一对应关系 例 10 将编号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不