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课题 解析几何中动态问题的切入点探究 江苏省木渎高级中学 吴亭 【】【】【】1．已知椭圆：的左右焦点分别为、，设为椭圆上任意一点，以为圆心，为半径作圆，当圆与椭圆的右准线 有公共点时，则面积的最大值为 ． 2．已知圆M：，过轴上的点存在一直线与圆M相交，交点为A、B，且满足PA=AB，则点P的横坐标的取值范围为 ． 【】的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点．若，则 ． 变式：已知椭圆C的=1，直线l与轴交于点P（m，0），与椭圆C交于相异两点A、B，且的取值范围例2．已知椭圆C：=1的离心率为，P椭圆C上一P横坐标为2．P作互相垂直的两条直线，分别与椭圆交于点A、B过原点，证明：直线过定点． 如图，已知椭圆C：=1，过椭圆C上一点P（2，1）作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于点A、B，直线AB与x轴交于点M，与y轴负半轴交于点N．面积的取值范围． 小结： 【】1．已知椭圆：的左焦点为，设为椭圆右准线上任意一点，线段交椭圆于点，则的取值范围是 ． 2．已知椭圆的上顶点为，左右焦点分别为： 且椭圆过点，以为直径的圆恰好过右焦点 （1）求椭圆的方程： （2）若动直线与椭圆有且只有一个公共点，试问：在轴上是否存在两定点，使其到直线的距离之积为？若存在，请求出两定点坐标，若不存在，说明理由. 关于解析几何中动态问题切入点探究的几点说明 圆锥曲线的性质以及直线和圆锥曲线的位置关系是高中数学重要内容之一，尤其是一些“动态”问题，如：位置关系的证明，定点定值的探究，取值范围、最值的研究等等。困难之处主要在于对几何图形的分析和复杂的代数运算，而计算量过大往往跟不恰当的切入点选择有关系。寻找到合适的切入点是解决问题的关键，与以下两方面密切相关： 一、、、、、、”通常处理方法有：①利用向量寻找坐标关系；②利用圆锥曲线的第二定义化斜为直。例1变式中的条件 “” 通常处理方法有：①利用向量寻找坐标关系；利用直线方程与韦达定理。三个如此形似的问题，各自合适的切入点却大相径庭，究其原因是题目中各种关系量发生了变化，需要合理地与题目中其他条件建立联系，切不可抱残守缺，不作变通。 另外，在我们所研究的动态问题中，部分问题是动中有定的。如果我们对一些常见规律有所了解，对于我们分析动源、倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于点A、B，直线ABP关于轴对称点处的切线斜率；例2中也有两直线斜率之积为定值，即。这些隐含信息的发掘，都需要我们注重分析图形和条件间的联系，找准问题的切入点。 参考答案： 【】1．已知椭圆：的左右焦点分别为、，设为椭圆上任意一点，以为圆心，为半径作圆，当圆与椭圆的右准线 有公共点时，则面积的最大值为 ． 解：设，则，又， ，当圆与椭圆的右准线 有公共点时， ，， ，又 得，则当时，． 所以． 2．已知圆M：，过轴上的点存在一直线与圆M相交，交点为A、B，且满足PA=BA，则点P的横坐标的取值范围为 ．中点，连接、，设则 相减得， ∴，即 ∴ 【】的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则 ． 解：设直线为椭圆的准线，为离心率，过两点分别作 、垂直于，、为垂足，过作垂直于， 则，,又，得 ∴，从而． （2）已知椭圆C的=1，直线l与y轴交于点P（m，0），与椭圆C交于相异两点A、B，且的取值范围、，由 ， 得 即，代入， 得 所以，得， 由得，则． 时，A、BP三点重合，∴，即或． 例2如图，已知椭圆C：=1的离心率为，P椭圆C上一P横坐标为2．P作互相垂直的两条直线，分别与椭圆交于点A、B点过原点，证明：直线过定点．解：设，则，， 又，∴． ∴，从而方程为，即 ∴直线过定点．如图，已知椭圆C：=1的离心率为，过椭圆C上一点P（2，1）作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于点A、B，直线AB与x轴交于点M，与y轴负半轴交于点N． （Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）的面积的取值范围． ，则，， 又点P（2，1）， 得，，∴椭圆C的方程为．的方程为，代入得 ， 方程一根为2，∴，．与倾斜角互补，∴斜率为， 同理得，，从而， 设直线的方程为，即， 则，，点P（2，1）的距离， 又，∴， 将代入得。 ∴得，∴．【】1．已知椭圆：的左焦点为，设为椭圆右准线上任意一点，线段交椭圆于点，则的取值范围是 ． 解：设，右准线为，则 ， 又，∴ ，从而 2．已知