三角函数解题规律及总结.docVIP

三角函数的解题技巧 3、关于“托底”方法的应用： 在三角函数的化简计算或证明题中，往往需要把式子添加分母，这常用在需把含tg（或ctg）与含sin（或cos）的式子的互化中，本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。方法如下： 例5、已知：tg=3，求的值。 分析：由于，带有分母cos，因此，可把原式分子、分母各项除以cos，“造出”tg，即托出底：cos； 解：由于tg=3 故，原式= 例6、已知：ctg= -3，求sincos-cos2=? 分析：由于，故必将式子化成含有的形式 解： 例7、设， 求：的值 分析：此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子，故要用“托底法”，由于，，在等式两边同除以，托出分母为底，得： 解：由已知等式两边同除以得： “托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互化的计算。由于，，即正切、余切与正弦、余弦间是比值关系，故它们间的互化需“托底”，通过保持式子数值不变的情况下添加分母的方法，使它们之间可以互相转化，达到根据已知求值的目的。而添加分母的方法主要有两种：一种利用，把作为分母，并不改变原式的值，另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又或者它们的积，产生分母。 4、关于形如：的式子，在解决三角函数的极值问题时的应用： 可以从公式中得到启示：式子与上述公式有点相似，如果把a，b部分变成含sinA，cosA的式子，则形如的式子都可以变成含的式子，由于-1≤≤1， 所以，可考虑用其进行求极值问题的处理，但要注意一点：不能直接把a当成sinA，b当成cosA，如式子：中，不能设sinA=3，cosA=4，考虑：-1≤sinA≤1，-1≤cosA≤1，可以如下处理式子： 由于。 故可设：，则，即： ∴ 无论取何值，-1≤sin(A±x)≤1， ≤≤ 即：≤≤ 下面观察此式在解决实际极值问题时的应用： 例1（98年全国成人高考数学考试卷） 求：函数的最大值为（ A ） A． B． C． D． 分析：，再想办法把变成含的式子： 于是： 由于这里： ∴ 设： ∴ 无论A-2x取何值，都有-1≤sin(A-2x)≤1，故≤≤ ∴的最大值为，即答案选A。 三、三角函数知识点解题方法总结 见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式 　　一步到位转换到区间（-90o，90o）的公式. 　　sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z)；cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)； 　　tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z)； cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z). 　、见“知1求5”问题，造Rt△，用勾股定理，熟记常用勾股数（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），仍然注意“符号看象限”。 、见“切割”问题，转换成“弦”的问题。、“见齐思弦”=“化弦为一”：已知tanα,求sinα与cosα的齐次式，有些整式情形还可以视其分母为1，转化为sin2α+cos2α. 　、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式： sin(α+β)sin(α-β)= sin2α-sin2β;cos(α+β)cos(α-β)= cos2α-sin2β. 　　、见“sinα±cosα与sinαcosα”问题，起用平方法则： 　　(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故 　　若sinα+cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=t2-1=sin2α; 　　若sinα-cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=1-t2=sin2α. 　　、见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题，启用变形公式: 　　tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考：tanα-tanβ=？？？ 　　、见三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系：(A≠0) 　　函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于过最值点且平行于y轴的直线分别成轴对称； 　　函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于其中间零点分别成中心对称； 　　同样，利用图象也可以得到函数y=Atan(wx+φ)和函数y=Acot(wx+φ)的对称性质。 　　、见“求最值、值域”问题，启用有界性，或者辅助角公式： 　|sinx|≤1,|cosx|≤1;2.(asinx+bcosx)2=(a2+b2)sin2(x+φ)≤(a2+b2); 　　asinx+bcosx=c有解的充要条件是a2+b2≥c2. 　　、