线性代数第一章习题集.docVIP

一. 判断题（正确打√，错误打×） 1. 阶行列式的展开式中含有的项数为.( × ) 正确答案： 解答：方法1因为含有的项的一般形式是，是级全排列的全体，所以共有项 ， 而中不再含有，而共有项，所以的项数是. 注意：含有任何元素的项数都是. 2. 若阶行列式中等于零.( √ ) 解答：将中的列都加到第一列，则一列元素全为等于零. 3..( √ ) 解答： . 方法2 交换2，4列，再交换2，4行 =. 方法3 Laplace展开定理：设在行列式中任意取定了个行，由这行元素所组成的一切阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于。 =. 4. 若阶行列式满足,,则.(√) 解答：由行列式展开定理 . 5. 若阶行列式的展开式中每一项都不为零,则.( × ) 解答：反例如. 二. 单项选择题 1. 方程的根为（B）. （A）； （B）； （C）； （D）. 解答：（范德蒙行列式） ，所以根为,那么（D）. （A）； （B）； (C)； （D）. 解答： 。仅有零解，则（A）. （A）且；（B）或；（C）；（D）. 解答：因为仅有零解， 所以，且. 4.下列行列式中不一定等于的是（B）. （A）； （B）； （C）； （D）. 解答： 注意 =；而==阶行列式展开式中项的符号为(D). （A）- ； （B）+； （C）； （D）. 三. 填空题 1. 已知方程组有唯一解,且,那么 4 . 解答：系数行列式， 而,所以, 所以.,2则 9 . 解答：因为，所以为阶范德蒙行列式,是代数余子式，则. 解答：. 4. 120 . 解答：方法1 . 方法2 . 5. 设，则的展开式中的系数为 -1 . 解答：的展开式中有一项是. 或者按第一行展开： ，的系数为-1. 四. 计算题 1.已知，计算. 解答：方法1 . 方法2 ，所以. 2. 计算行列式 3. 计算行列式 解答： . 4. 计算行列式 解答：（行和相等） 5. 计算行列式 解答： 6. 计算行列式 解答：（行和相等） 7. 计算行列式. 解答：当时：；时：得到 五．证明题 1. 设，证明：存在使得. 证明：因为，，所以，而 在上连续，在可导，所以由Rolle定理知存在使得. 2.证明当时，行列式. 证明： 3.. 证明：方法一 设，将其按第4例展开得到， 由于，且，由方程根与系数的关系知 ，而，于是 ， 所以. 注 ，该方法具有一般性，利用它可以证明 . 方法二 六. . 解答 想法：三个平面相交于一点，第四个平面过该点： 方程组有唯一解，当且仅当， 第四个平面过点当且仅当，所以， 于是，即， 所以 是 并且. 太原理工大学《线性代数》练习册（一） 第 1 页