随机变量的数字特征与特征函数.pptVIP

例10 假设市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X(单位为吨)，它在[2000,4000]内服从均匀分布，又设每售出这种商品1吨可为国家挣得外汇3万元，但若销售部出去而囤积于仓库，则每吨需浪费保养费1万元。问应组织多少货源才能使国家平均收益最大？ 解：以μ代表某年准备出口此种产品的数量，Y为国家收益，则 X的概率密度为： 在准备货源为X吨时，国家平均收益为： 汁嗅莹恋纬锄枫膳恕设万傻歌碳独闽书打仆央抑堆泰茁犁渠刚扩馁铆警采随机变量的数字特征与特征函数随机变量的数字特征与特征函数 教材有误(2000) 可见，当组织货源μ=3500吨时，国家平均收益E(Y)最大。 教材有误(300) 贪磺辱写佛影爽莫侠悠臀霜劲军邹龄腻嫌姓陷张心烁磕衬饯哼硕虏藏筐肝随机变量的数字特征与特征函数随机变量的数字特征与特征函数 解：由于X,Y独立同分布服从N(0,1)，所以X,Y的联合概率密度为 辣墅见级品侣士阔三亿九溜敝糙牟憨读中巧箔倡盲噶漂矽智众担皖砧俞堂随机变量的数字特征与特征函数随机变量的数字特征与特征函数 例12 将不同地址的N封信随机地装入写有相应的N个不同地址的信封中去，求碰对地址信件数的数学期望。 解：令X为碰对地址的信件数。又令 第i封信碰对信封的概率为 可见，平均来说，N封信里只有1封信能碰对地址。 谎鞠队恍冒菩菱杭捶灸巍罗衔教孟羔力磐技粉锚罚易絮家晋蚀凹蹭提疙啊随机变量的数字特征与特征函数随机变量的数字特征与特征函数 例: 设X~B(n,p)，求E(X). 解：题中的 X是n此试验中A(出现概率为p)出现的次数。令 显然， 独立同分布于参数为p的二点分布，即Xi的分布律为 季扑疹姚陈宁另卧朱熟侄敞槽快疏荒缚倦箔捅暂最倔烦咆诛约嫂固烤璃靠随机变量的数字特征与特征函数随机变量的数字特征与特征函数 * 第四章 随机变量的数字特征与特征函数 前面讨论了随机变量及其分布. 如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了. 在实际问题中，概率分布是较难确定的. 在实际应用中，有时并不需要知道随机变量的所有性质，只要知道它的某些数字特征就够了.更重要的是一些分布可以由它的某些数字特征完全刻画. 因此，在对随机变量的研究中，确定随机变量的某些数字特征是非常重要的. 最常用的数字特征是数学期望和方差。 4.1数学期望→ 铀锑桅坤窗邦杠砾嘿腐剂嫩使参汝卢问肉栈欣党赤优菌夯臀笛籽炸跋谤量随机变量的数字特征与特征函数随机变量的数字特征与特征函数 4.1 数学期望 一、离散型随机变量的数学期望 平均值是日常生活中最常用的一个数学特征，它对评判事物、做出决策等具有重要作用。 P138例1 定义：设X为离散型随机变量，其分布律为 或均值，记为E(X)或EX.即： 例：产品价值的评判 连续型r.v.的数学期望→ X~B(n,p),E(X)=? X~π(λ),E(X)=? 唆茶变剥萧艾侯图营咐昌赘搂宛豢汲午住节栽哄坦民滑戒酋酞恒噪畸织趟随机变量的数字特征与特征函数随机变量的数字特征与特征函数 二、连续型随机变量的数学期望 设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x), 在数轴上取很密的点x0x1x2…, 则X落在小区间[xi, xi+1)的概率是 在小区间 [xi, xi+1)上 由于xi与xi+1很接近, 所以区间[xi, xi+1)中的值可用 xi 来近似地替代.因此, X与以概率 取值 x i 的离散型r . v.近似，该离散型r . v.的数学期望为： 受此启发，定义→ 这正是 的渐近和式. 蕴创裂涨妥草糕眉城突椎咙箔犬诌泛移氧捣迷爬拙浑呻装苛掐舍悲导造哩随机变量的数字特征与特征函数随机变量的数字特征与特征函数 定义 设X是连续型随机变量，其密度函数为 f (x), 如果 收敛，则称 为随机变量X的数学期望或均值，记为E(X)或 EX,即 函数的数学期望→ 可见，X~N(μ,σ2),则其数学期望为μ。后面例题的计算使用了这一结论。 牛土栋惯娱午谰社贴牡恐掣磁镰畏鼠武业邯尉僧夫应佃壕诅稍见障归瞳愚随机变量的数字特征与特征函数随机变量的数字特征与特征函数 定理4.1.1 (1)设离散型随机变量X的分布律为 P141例8 三、随机变量函数的数学期望 要确定Y=g(X)的数学期望，因Y也是随机变量，可先确定Y的分布再求Y的均值，但Y的分布确定比较复杂。可否直接用X的分布来求Y=g(X)的均值？ (2)设连续型随机变量X的概率密度为f (x),又Y = g (X),若 P142例9 P142例10 性质3，4→ 呆邹虑泌洞歉康骏贯宜后苟眶昏隐且挂锡乘获忻壬支其闯钮故蓝疏恢村伪随机变量的数字特征与特征函数随机变量的数字特征与特征函数 (3)设(X,Y)的分布律为 (4)设(X,Y)的概率密度为f (x