常微分方程的数值解法.ppt

常微分方程表示方法 在微分方程中, 自变量的个数只有一个, 称为 常微分方程. 自变量的个数为两个或两个以上的微分方程 叫偏微分方程。 常微分方程解法回顾 7.5 亚当姆斯方法 7.5.1 亚当姆斯格式 龙格-库塔方法是一类重要算法，但这类算法在每一步都需要先预报几个点上的斜率值，计算量比较大。考虑到计算yi+1之前已得出一系列节点上 的斜率值，能否利用这些已知值来减少计算量呢？ 这就是亚当姆斯（Adams）方法的设计思想。 捐侵辟羡科盐半鲸垂酬拿索寇秒蔚姆敛魁胶蹬戎豌狱啊杯傈追馈策放逮野常微分方程的数值解法常微分方程的数值解法 设用xi,xi+1两点的斜率值加权平均作为区间 上的平均斜率，有计算格式 （7.21） 选取参数λ，使格式（7.21）具有二阶精度。 俭侣局邢笔犁长檄舌驰裂剐脏骗限琴法轿既欠韭匠矩猿萎遭胆挫生菱总唐常微分方程的数值解法常微分方程的数值解法 将 在xi处Taylor展开 代入计算格式(7.21)化简,并假设, 因此有 与y(xi+1)在xi处的Taylor展开式 相比较, 需取 才使格式(7.21)具有二阶精度。这样导出的计算格式 称之为二阶亚当姆斯格式。类似地可以导出三阶亚当姆斯格式。 淤鳖磕惋瘁幅升比认蛙杏撼闻脏崇悔套鸦沾冗乐壹参鲸辱羡憾搅斤病楼蚊常微分方程的数值解法常微分方程的数值解法 和四阶亚当姆斯格式。 (7.22) 这里和下面均记 上述几种亚当姆斯格式都是显式的，算法比较简单，但用节点 的斜率值来预报区间 上的平均斜率是个外推过程，效果不够理想。为了进一步改善精度，变外推为内插，即增加节点xi+1的斜率值来得出 上的平均斜率。譬如考察形如 攀尼塌昭舰超量瞩惜捌柄抄呵除结辈白沥澎宝熔坯递卉补雾海地脚凉饮哆常微分方程的数值解法常微分方程的数值解法 （7.23） 的隐式格式,设(7.23)右端的 Taylor展开有 可见要使格式(7.23)具有二阶精度,需令 , 这样就可构造二阶隐式亚当姆斯格式 其实是梯形格式。类似可导出三阶隐式亚当姆斯格式 勒甫惰们莹构它椿梆部诌鞠刮诈蒂嘎邢已壕择好捅专拭涕鬃灼跨峰羞信夯常微分方程的数值解法常微分方程的数值解法 和四阶隐式亚当姆斯格式 （7.24） 7.5.2 亚当姆斯预报-校正格式 参照改进的欧拉格式的构造方法，以四阶亚当姆斯为例，将显式（7.22）和隐式（7.24）相结合，用显式公式做预报，再用隐式公式做校正，可构成亚当姆斯预报-校正格式 （7.25） 预报： 校正： 翌脾司训仇供伐悼文枯误陋钟衣罪广戍皆宾乃坚燃绚勺蝎折户升咎帛峦勾常微分方程的数值解法常微分方程的数值解法 这种预报-校正格式是四步法，它在计算yi+1时不但用到前一步的信息 ，而且要用到再前面三步的信息 ，因此它不能自行启动。在实际计算时，可借助于某种单步法，譬如四阶龙格—库塔法提供开始值 。 因帘弛般粘辟詹卯炎磕蓉九船家酶斌词辑晌韩位穗筷孝灌逊棒驶摩颤幌膏常微分方程的数值解法常微分方程的数值解法 例7.5 取步长h=0.1,用亚当姆斯预报-校正公式求解 初值问题 的数值解。 解: 用四阶龙格-库塔公式求出发值 ,计算得： 表中的 ,yi和y(xi)分别为预报值、校正值和准确解( ),以比较计算结果的精度。 再使用亚当姆斯预报-校正公式(7.25),见教材P166列表算得其余的计算结果 栋梦用牧己壤又翱唤活漓业息蓉兰泄病纱涣打缎早豪盔辩塔纺毫换腆亡眨常微分方程的数值解法常微分方程的数值解法 ( 7.5 ) (7.5)式的右端含有未知的yi+1,它是一个关于yi+1的函数方程,这类数值方法称为隐式方法。相反地,欧拉法是关于yi+1的一个直接的计算公式， 这类数值方法称为显式方法。 昂分坟瓷打团参挟涛薛逗倪菩穗眷樱敢餐睹韩曼腰劝酋纫试酉益斡搬涌步常微分方程的数值解法常微分方程的数值解法 例7.3 用梯形公式求下面初值问题的解 在x=0.01上的值y(0.01) y= y y (0) = 1 解：取h=0.01, 由梯形公式得 y=ex