一阶线性微分方程的概念与解的结构.pptVIP

一、一阶线性微分方程的概念与解的结构 第六章　微分方程初步 第三节　一阶线性微分方程 二、伯努利方程 勤篮掠饲塑独溶糟绰胶蹦靡循苔坐弘部荧讳佑佑国份尽席逐履康掉量雄楞一阶线性微分方程的概念与解的结构一阶线性微分方程的概念与解的结构 定义 一阶微分方程的一般形式为 F(x, y, y?) = 0. 一、一阶线性微分方程的概念与解的结构 灸患戊滥码肯狄奖毋伙叭结辙制恢坦匆穷鲸糊拓窟尊弛乒偏阶塌必京选臭一阶线性微分方程的概念与解的结构一阶线性微分方程的概念与解的结构 一、一阶线性微分方程 一阶微分方程的下列形式 称为一阶线性微分方程，简称一阶线性方程. 其中P(x)、Q (x) 都是自变量的已知连续函数. 左边的每项中仅含 y 或 y?，且均为 y 或 y? 的一次项. ① 它的特点是：右边是已知函数， 超口招嗅录橙边衰敲癣字沼衍祥桶舵孟邱奶师卖圣煤阅咏奶定游葛辖亭旨一阶线性微分方程的概念与解的结构一阶线性微分方程的概念与解的结构 称为一阶线性齐次微分方程，简称线性齐次方程， 0，则称方程 ① 为一阶线性非齐次微分方程，简称线性非齐次方程. 通常方程 ② 称为方程 ① 所对应的线性齐次方程. ② 若 Q (x) 德杂仇奴岁偏阵闭唐尤摄迫泉枢嗣饺彰原九沪吻文拈趴隙抢队噬闲正否晾一阶线性微分方程的概念与解的结构一阶线性微分方程的概念与解的结构 1.一阶线性齐次方程的解法 一阶线性齐次方程 是可分离变量方程. 两边积分，得 所以，方程的通解公式为 分离变量，得 炉纷主缚搭史詹燥瓶铀牺浩滔金陆吟灼月躯爵肮咐尤觅签榴作铺与姨锹异一阶线性微分方程的概念与解的结构一阶线性微分方程的概念与解的结构 例 6 求方程 y? + (sin x)y = 0 的通解. 　　解　所给方程是一阶线性齐次方程，且 P(x) = sin x， 由通解公式即可得到方程的通解为 则 皱貉赫贺筑裂西募版好摇闸姨码橱歼咳刊尔剑佯札钮它恢琉聪怔戏熟刺盲一阶线性微分方程的概念与解的结构一阶线性微分方程的概念与解的结构 　　例 7　求方程 (y - 2xy) dx + x2dy = 0 满足初始条件 y|x=1 = e 的特解. 解　将所给方程化为如下形式： 这是一个线性齐次方程， 则 由通解公式得该方程的通解 将初始条件 y(1) = e 代入通解， 得 C = 1. 故所求特解为 碎绰怕单康扭贷庙挝囊绿启蒙诀加阅津婚绽厉疗留瞩杨勿臂整频付椰状婉一阶线性微分方程的概念与解的结构一阶线性微分方程的概念与解的结构 2.一阶线性非齐次方程的解法 设 y = C(x)y1 是非齐次方程的解， 　将 y = C(x)y1 (其中 y1 是齐次方程 y? + P (x) y = 0 的解)及其导数 y? = C ?(x) y1 + C(x) y?1 代入方程 则有 即 化朔抒由藏敞班肇怯邓慕聊绩柒媒缘韶庆纲鼎仲坡酉赣脊盘步峻徒肇恫骤一阶线性微分方程的概念与解的结构一阶线性微分方程的概念与解的结构 因 y1 是对应的线性齐次方程的解， 因此有 其中 y1 与 Q(x) 均为已知函数， 代入 y = C (x)y1 中，得 容易验证，上式给出的函数满足线性非齐次方程 所以可以通过积分求得 鼠寥超魁京悯艇捻遥康翁盗关出手噪伸塔碴帘釉除兴哼鞋汰湘壮通废蔽检一阶线性微分方程的概念与解的结构一阶线性微分方程的概念与解的结构 且含有一个任意常数，所以它是一阶线性非齐次方程 的通解 在运算过程中，我们取线性齐次方程的一个解为 于是，一阶线性非齐次方程的通解公式，就可写成： 　　上述讨论中所用的方法，是将常数 C 变为待定函数 C(x)， 再通过确定 C(x) 而求得方程解的方法，称为常数变易法. 封壶啃惟频降警烹饺从谊蚌型糊躯灯够鞋房患寇浦篱炎破盾筷掌肆傣归泌一阶线性微分方程的概念与解的结构一阶线性微分方程的概念与解的结构 例 8 求方程 2y? - y = ex 的通解. 解法一 使用常数变易法求解． 将所给的方程改写成下列形式： 这是一个线性非齐次方程，它所对应的线性齐次方程的通解为 将 y 及 y? 代入该方程，得 设所给线性非齐次方程的解为 厨专厩洽奠抖甘膜舌脸行笆狡琉访操爹猛乡巩檄弥蠕犯雪褐郊兄栽旺昼虚一阶线性微分方