第三章一元函数积分学.ppt

多项式可以很容易地逐项积分，因此只需要讨论真分式的积分，一般来讲，先将真分式化成部分分式，部分分式的积分较容易，真分式的积分就会计算了． 3.1节 课堂练习 3.1节 课堂思考 ３.２ 　不定积分的计算 利用基本积分公式及不定积分的性质直接计算不定积分，有时很困难，因此，需要引进一些方法和技巧。下面介绍不定积分的两大积分方法: 换元积分法与分部积分法 ３.２ 　不定积分的计算 3.2.1 换元积分法 3.2.4* 积分表的使用 3.2.3* 有理函数积分简介 3.2.2 分部积分法 3.2.1 　换元积分法 一、第一类换元积分法（凑微分法） 　　有一些不定积分，将积分变量进行一定的变换后，积分表达式由于引进中间变量而变为新的形式，而新的积分表达式和新的积分变量可直接由基本积分公式求出不定积分来. 例如 想到基本积分公式 若令u＝４x，把４x看成一个整体（新的积分变量），这个积分可利用基本积分公式算出来 又如 u=2x 第一类换元法 则有换元公式 例8 　求 解：原式= 推广： 解： 例9 　求 解：原式= 例10 　求 解：原式= 例11 　求 解：原式= 类似可得 　 二、第二类换元积分法 第一类换元积分法是利用凑微分的方法，把一个较复杂的积分化成便于利用基本积分公式的形式，但是，有时不易找出凑微分式，却可以设法作一个代换 x＝φ(t)，而积分 ∫f(x)dx＝∫f［φ(t)］φ′(t)dt 可用基本积分公式求解 定理2　设f(x)连续，x＝φ(t)是单调可导的连续函数，且其导数φ′(t)≠０，x＝φ(t)的反函数t＝φ-1(x)存在且可导，并且 ∫f[φ(t)]φ′(t)dt＝F(t)＋ C 则 ∫f(x)dx ＝ F[φ-1(x)]＋ C 例12 求 解: 令 则 ∴ 原式 例13. 求 解: 令 则 ∴ 原式 例14. 求 解: 令 则 ∴ 原式 令 于是 小结: 被积函数含有 时, 或 可采用三角代换消去根式 例15 求 解：设 ，则 从而 原式 小结： 当被积函数含有 时，只需做代换 ，就可将根号去掉．不定积分就变成容易的积分了。 上述第二类换元积分均是利用变换去掉被积函数中的根式，把积分转化成容易积分． 3.2.2 分部积分法（integration by parts） 如果u＝u(x)与v＝v(x)都有连续的导数，则由函数乘积的微分公式 d(uv)＝vdu＋udv 移项得 udv＝d(uv)－vdu 从而 ∫udv＝uv－∫vdu 或∫udv＝uv－∫vu′dx 　　这个公式叫作分部积分公式，当积分∫udv 不易计算，而积分∫vdu 比较容易计算时，就可以使用这个公式． 例16. 求 解: 令 则 ∴ 原式 在计算方法熟练后， 分部积分法的替换过程可以省略 例17 求不定积分 解：原式 例18. 求 解: 原式 移项整理可得 例19. 求 解：原式 例20. 求 解:原式 = 思考：如何求 例21. 求 解: 令 则 原式 令 总结: 分部积分法主要解决被积函数是两类不同类型的函数乘积形式的一类积分问题，例如这些形式： ∫P(x)eax dx ∫P(x)lnmxdx ∫P(x)cosmxdx ∫P(x)sinmxdx ∫sinmxeaxdx …… 其中 m 为正整数，a 为常数，P（x）为多项式 正确选取u(x)，v(x)，会使不定积分 ∫v(x)du(x)＝∫v(x)u′(x)dx 变得更加简单易求。 3.2.3* 有理函数积分简介 有理函数总可以写成两个多项式的比 其中n 为正整数，m 为非负整数，a０≠０，b０≠０ ，设分子与分母之间没有公因子，当n＞m 时，叫做真分式；当m ≥ n 时，叫做假分式，假分式可以用除法把它化为一个多项式与一个真分式之和． 引 言 第三章 一元函数积分学 积分学分为不定积分与定积分两部分．不定积分是作为函数导数的反问题提出的，而定积分是作为微分的无限求和引进的，两者概念不相同，但在计算上却有着紧密的内在联系． 本章主要研究不定积分和定积分的概念、性质及基本积分方法，并揭示二者的联系，从而着重论证微积分学核心定理（牛顿莱布尼茨式),解决定积分的计算问题，同时研究定积分在几何、物理及医学等方面的应用，最后简单研究广义积分． 本章主要内容： 第一节 不定积分 第二节 不定积分的计算 第三节 定积分 第四节 定积分的计算 第五节 广义积分 3.1.1 不定积分的概念 3.1.2 不定积分的基本公式和