53-1函数的升降讲义.pptVIP

福州大学数学与计算机学院 第三节 函数的升降、凸性 由函数的上升与下降定义 2、求单调区间 3、利用单调性可以证明不等式 二、函数的极大值与极小值 1.函数极值的定义 2.函数极值的条件 小结 即1): 例如, 函数的驻点及不可导点称为可疑极值点. 2):函数的不可导点,也可能是函数的极值点. 定理1(极值的必要条件) 设函数 在点 处取极值,那么点 只可能是 的驻点,或是 的不可导点. 一、升降（单调）性的判别法 二、凸性及其判别法 函数在某区间上是否具有单调性是我们在研究 函数的性态时，最基本的一个的问题。 我们已经给出了函数在某区间上单调的定义，但利用定义来判定函数的单调性却是很不方便的。 一、函数的上升与下降 从几何图形上看，表示单调函数的曲线当自变量 在单调区间内按增加方向变动时，曲线总是上升（下降）的。此时曲线在某区间内每点处的切线斜率都为正（负），即切线的倾角全为锐（钝）角，曲线就是上升（下降）的 这就启示我们：能否利用导数的符号来判定单调性 ？ 由导数定义及极限保号性可以证明: 定理 (导数的正负与函数升降的关系) 证:(充分性) 应用拉氏定理,得 证:(必要性) 由极限的保号性 推论 例1 解 注意 函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性． 1、判别函数的单调性 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调增加(减少)的，则该区间称为函数的单调增加(减少)区间，这时也称函数是该区间的单调增加(减少)函数. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点． 求函数的单调区间的方法: 例2 解 单调区间为 例3 解 单调区间为 注意 若区间内导数为零的点只是孤立点, 则不影响区间的单调性,即函数在区间内仍是单调的. 例如, 例4 证 一般地 例5 证 例6 证 例7 设 证明 [分析] 如图所示 o x y 结论是显然的 证一 总之有 证二 或令 例8 证 例9 解 4、利用单调性可以证明根的唯一性 例10 证 由零点定理 即方程至少有一个小于1的正实根 . 此种题型应先证明根的存在性，再证明唯一性. 思考题 思考题解答 不能断定. 例 但 当 时， 当 时， 注意 可以任意大，故在 点的任何邻域内， 都不单调递增． 1.函数的极值的定义 2.函数的极值的条件 定义 函数的极大值与极小值统称为极值 , 使函数取得极值的点称为极值点. * *