4多维随机变量的独立性讲义.ppt

多维随机变量的独立性 两事件A, B独立的定义是： 若P (AB) = P (A) P(B) 则称事件 A, B相互独立 . 两随机变量独立概念的引出 问： 若 X, Y 是两个随机变量，若对任意的x, y,有 则能否得出 X, Y 相互独立 ？ 一. 随机变量相互独立的定义 设 (X,Y) 的 联合分布函数及边缘分布函数 为F(x,y) 若对任意的 x, y都有: 则 称 随机变量X和Y是相互独立的. 二. 当 (X,Y) 为离散型随机变量 X和Y相互独立 是 的所有可能的取值 例1. 设 X,Y 相互独立，它们的分布律分别为: 求: (X,Y) 的联合分布律. 解: 相互独立 从而： 依次可得 (X,Y) 的联合分布律为: X Y 从此例可得出：对离散型随机变量而言，已知联合分布律可求出其相应的边缘分布律，但反之则不然。而一旦已知 X,Y 相互独立条件后，则可由边缘分布律直接求得其联合分布律。 在一只口袋中装有3个黑球，两个白球，从该口袋中取球两次，每次任取一球。令 问: 1. 每次取后不放回，X,Y是否相互独立？ 2. 每次取后放回，X,Y是否相互独立？ 例2. 求: 1. 二维随机变量(X,Y)的概率分布 2. (X,Y)关于X和Y的边缘概率分布 3. 判断X与Y是否相互独立 例3. 三. 当 (X,Y) 为连续型随机变量 设 (X,Y) 服从正态分布，其边缘分布密度为： 例4. 问: X 和 Y 相互独立的充分必要条件是什么? 解: 要 则比较可知其充分必要条件是： (1) 联合概率密度及边缘概率密度 (2) 检验 X 和 Y 是否相互独立 (3) (X,Y) 的联合分布函数 (4) 例5. 求: 解: (1). 设随机变量 (X,Y) 在矩形域: 内服从均匀分布 (X,Y) 服从均匀分布 由题意在 区域内 在矩形 上: 所以，其联合概率密度为： 在其它域上: (2). 所以得其边缘概率密度分别为： 与 相互独立 (3). 视它为不可能事件 故(X,Y)的联合分布函数为 (4). 甲乙两人约定中午12时30分在某地会面。 设甲在时间12:15到12:45之间到达某地 是均匀分布；乙独立地到达，而且到达 时间在12:00到13:00之间也是均匀分布. 试求：(1) 先到的人等待另一人到达的 时间不超过5分钟的概率. (2) 甲先到的概率 例6. 设 X：甲到达时刻， Y：乙到达时刻 若以12时为起点，以分为单位，依题意： X ~ U ( 15, 45 ), Y ~ U ( 0, 60 ) 先到的人等待另一人 到达的时间不超过5分钟 的概率 甲先到 的概率 解: 且有： 所求为 ：P( |X - Y | 5 ) 及 P( X Y )