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8.2 线性系统的运动分析 8.2.1 线性定常连续系统的自由运动 在没有控制作用下，线性定常系统由初始条件引起的运动称为线性定常系统的自由运动，可由齐次状态方程描述 (8-36) 齐次状态方程通常采用幂级数法、凯莱－哈密顿定理和拉普拉斯变换法求解。 1.幂级数法 设齐次方程的解是t的向量幂级数 式中，都是n维向量，且，求导并考虑状态方程，得 由等号两边对应的系数相等，有 故 x(0) (8-37) 定义 = (8-38) 则 (8-39) 标量微分方程的解与指数函数的关系为，由此可以看出，向量微分方程(8-36)的解与其在形式上是相似的，故把称为矩阵指数函数，简称矩阵指数。由于x(t)是由转移而来，又称为状态转移矩阵，记为，即 = (8-40) 从上述分析可看出，齐次状态方程的求解问题，核心就是状态转移矩阵的计算问题。因而有必要进一步研究状态转移矩阵的算法和性质。 2.拉普拉斯变换法 将式(8-36)取拉氏变换，有 (8-41) 进行拉氏反变化，有 (8-42) 与式（8-39）相比有 = (8-43) 式（8-43）是的闭合形式。 例 8-8 设系统状态方程为，试用拉氏变换求解。 解 状态方程的解为 3.凯莱－哈密顿定理法 矩阵A满足它自己的特征方程。即若设n阶矩阵A的特征多项式为 (8-44) 则有 (8-45) 从该定理还可导出以下两个推论。 推论1 矩阵A的次幂，可表为A的（n-1）阶多项式 (8-46) 推论2 矩阵指数 可表为A的（n-1）阶多项式，即 (8-47) 且各作为时间的函数是线性无关的。 由凯莱－哈密顿定理，矩阵A满足它自己的特征方程，即在式（8-46）中用A的特征值替代A后，等式仍能满足 （8-48） 利用上式和k个就可以确定待定系数。 若互不相等，则根据式（8-48），可写出各所构成的n元一次方程组为 （8-49） 求解式（8-49），可求得系数,,…,，它们都是时间t的函数，将其代入式（8-47）后即可得出e。 例8-9 已知 A＝，求e。 解 首先求A的特征值：， 解得 ， 将其代入（8-48），有 解出系数 于是 e 若矩阵A的特征值是m阶的重根，则求解各系数的方程组的前m个方程可以写成 （8-50） 其它由，1，2，组成的（n-m）个方程仍与（8-49）的形式相同，它们与式（8-50）联立，即可解出各待定系数。 例8-10 已知A＝，求e。 解 先求矩阵A的特征值，由得， 即， 解得， 为一个二重根，由（8-50）有 解得， 于是求得 8.2.2 状态转移矩阵的性质 状态转移矩阵具有如下运算性质： 1） (8-51) 2） (8-52) 上述性质利用定义很容易证明。式(8-52)表明A与A可交换，且。 3） (8-53) 在式（8-53）中，令便可证明这一性质。分别表示由状态