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比值法的应用
齐次式比值法的应用
陈未民 （写于2014-4-1）
例1. 已知函数,其导函数是。若斜率为k的直线与曲线y=交于两点，求证：。
证明：要证，即证
，等价于证，则只要证
，由t1，知1nt0，故等价于证1ntt-1tlnt(t0)( ＊)
由①②知（＊）成立，故
【点评】构造齐次式并用比值法，然后转化为函数不等式的证明是一种常见的证明方法，其核心是就是减少变量的个数。
例2.
己知。若的图象与轴交于两点，中点为，函数的, 求证：得
=，令，设，
则，又，，
即，又，。
例3. 已知函数，的图象交于点，过线段的中点作轴的垂线分别交的图象于点
求证：的的图象在点的切线不平行。
证明：记，则，
又，要证的的图象在点的切线不平行，即要证①
同时，
两式相减得
要证①即要证②
又，要证②即要证
令，要证②无零点，
又，在单调递增
在内无零点
从而的的图象在点的切线不平行。
【练习】（湖南2010年理数第20题）
已知函数，对于任意的，恒有。
（Ⅰ）时，；
（Ⅱ），不等式，求的最小值。
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