投篮角度问题.docVIP

篮球运动员在中距离投篮训练时被告之，为提高投篮命中率，应以45度投射角投球。请通过建立数学模型说明其中是否有道理。 理论模型建立： 假设：对于职业篮球运动员而言，投篮时出手点与篮筐基本持平，且球能精确地落入篮筐。 设：球出手时的初速率为v（m/s）； 球的出手角度为（rad）； 球与篮筐的水平距离为d（m）； 球的水平位移为x（m），竖直位移为y（m）； 投篮示意图 由此可知：水平速率为；竖直速率为。 球的运动方程为： 因此，可知： 令y=0（且x0），可解得:. 由于要保证球能投入篮筐，因此必须满足：，即： 由实际经验可知，一个人力气越小，投篮就越费力，球就越难以掌控。因此，为了提高投篮稳定性，必须使人的用力最小，即：球的出手速度尽量小。 因此，整个问题就归结为如下优化模型： 因此，原问题就等价于如下优化模型： 容易求得，问题的解为：。 结论：当投篮角度为45度时，篮球落入篮筐时的状态是最稳定的，因此，以45度角投篮时，可以提高投篮命中率。 改进：一般化的投篮模型 一般情形：球员身高较矮，投篮时球的出手点与篮筐的垂直距离为h（m），求这种一般情形下运动员的最优投篮角度。 投篮示意图 一、投篮模型的建立： 由之前的讨论可知，篮球的运动方程如下： 由于当篮球的水平位移达到投篮距离d时，篮球必须入筐，因此抛物线过（d，h）点。由此可知球出手时的速率为： ----------------------（*） 利用一开始时的结论，为了使投篮尽量稳定，就等价于确定如下优化问题的解： 其中： 二、理论模型的计算： 令d=3.5（m），g=9.8（m/s^2）； 分别计算不同高度差时的投篮最优角度，计算结果如下表： 高度差h（m） 0 0.2 0.4 0.6 最优投篮角度（°） 45 45.04765 45.09514 45.14247 高度差h（m） 0.8 1.0 1.2 1.4 最优投篮角度（°） 45.18964 45.23666 45.28353 45.33024 高度差h（m） 1.6 1.8 2.0 3 最优投篮角度（°） 45.3768 45.42321 45.46947 45.69851 结论：从计算结果可以看出，只要高度差小于2米，最优投篮角度都差不多在45°左右。即使是3米的高度差，最优投篮角度也不会超过46°。（一般而言，正常人投篮时，球与篮筐之间的高度差大概1米多，因此，不论是谁，均可遵循45°的最优投篮角度这一规则。） 三、探索性学习： （1）当出手点比篮筐高度还高时，最优投篮角度如下表： 高度差h（m） 0 -0.2 -0.4 -0.6 最优投篮角度（°） 45 44.95219 44.90423 44.8561 高度差h（m） -0.8 -1.0 -1.2 -1.4 最优投篮角度（°） 44.80781 44.75936 44.71074 44.66196 高度差h（m） -1.6 -1.8 -2.0 -2.2 最优投篮角度（°） 44.61302 44.56391 44.51463 44.46518 结论1：当投篮出手点低于篮筐高度时，最优投篮角度都不小于45°；当投篮出手点高于篮筐高度时，最优投篮角度都不超过45°。 结论2：运动员越高，最优投篮角度就越小。 （2）高度差与最优投篮角度之间的近似函数关系： 下图反映了不同高度差时，对应的最优投篮角度之间的关系： 上图反映了高度差h在[0,30]之间时，最优投篮角度与h之间的函数关系图（横坐标为高度差，纵坐标为最优投篮角度）。 事实上，由 可以直接解得：（h0时的解析解）。 高度差在[0,300]内的数值解与解析解的比较图如下： （黑点：数值计算结果；红线：解析解） 实际应用中，由于高度差一般不会超过三米，因此只要确定高度差在0~3m范围内的最优投篮角度即可：函数图象大致如下： 可见，高度差在0~3m范围内时，h与最优投篮角度之间大致是线性关系，由一元线性回归可得到近似函数关系如下： （注：这里的角度单位为：度） 另一方面，如果利用解析解的泰勒展开，可得到：，转化为角度制后即为：。 由此可见，解析解的近似值与数值解之间仅有0.0086h的误差，由于，故误差值最大仅为0.716°左右（这个误差角度用肉眼都很难分辨出来）。 计算程序如下：（R软件） fv=function(t,h){ d=3.5;g=9.8 v1=2*h*(cos(t))^2+g*d^2 v2=d*sin(2*t) (v1/v2)^2 } #速度平方函数 h=seq(0,2,0.2);n=length(h);th=0 for(i in 1:n){ ff=fu