2014年10月必威体育精装版自考物理工试题专讲解.docx

例题 04-10-11-01 两个点电荷相距20cm，电荷分别为和，求连线中点处的场强和电势。分析　将两个点电荷分别在点O处激发的电场强度和电势叠加，即得所求结果。电场强度是矢量，为此需分别求出它们的大小(绝对值)和方向，再求矢量和。电势是标量，所以只要求出它们的代数和就可以了。解　在点电荷、的电场中，点处的电场强度大小和方向分别为　　　(方向向左)　　(方向向左)由于场强、是同方向的两个矢量，故得点的总场强为　　(方向向左)在点电荷、 的电场中，点处的电势分别为　　故点的总电势为。例题 04-10-02-02 图示两小球的质量均为，分别用两根长的塑料细线悬挂着。当两球带有等量的同种电荷时，它们相互推斥分开，在彼此相距处达到平衡。求每个球上所带的电荷。 解 对每个小球来说，受重力、悬线拉力和小球间的静电斥力三个力作用。根据库仑定律，的大小为。由于小球分别处于平衡状态，它们的速度和加速度皆为零。根据牛顿第二定律，对其中任一个小球来说，在铅直方向和水平方向分别有　(a) 　　(b)从(a)、(b)两式得　由于两球分开的距离和悬线长度相比甚小，故角也甚小，因而。这样，上式可写作　故　将题设各值代入上式，读者可自行算出各球所带电荷为　本题有两个答案。因为两球既然相斥，它们可以都带正电，也可以都带负例题 04-10-05-01 电偶极子在其轴线上的场强 设有一对相距为的等量异种点电荷和，在这两个点电荷连线的延长线上，求某点的场强。 解 如图所示，令电荷、连线的中点O到点的距离为，则和在点所激发的场强大小分别为(注：在负电荷的场强的式中，我们用电荷的大小代入而不用代入，这是因为场强是矢量，具体计算时，它的大小与方向必须分别表示出来。求大小时，仅需用之绝对值代入即可，而这个负的性质已在它的场强方向上反映了。读者以后解题时，也可以这样处理，把场强的大小和方向分别考虑，进行计算。) 　　，　(a)它们的方向沿着这两个点电荷的连线，而指向相反。由于两个共线矢量的矢量和就等于代数和，因而点的总场强为　　方向向右。当时，这样一对等量异种点电荷所组成的点电荷系叫做电偶极子，而电荷的大小与从负电荷到正电荷的位矢之乘积，叫做电偶极子的电矩。电矩是矢量，用表示，的方向与的方向相同，的大小为，即　　对于电偶极子，由于，前式的分母中，可以略去，则　　与电矩两者的方向一致(见图)。因此，在电偶极子轴线(即正、负电荷的连线)的延长线上一点的场强也可表示成矢量形式：　　顺便指出，如果，则与将重合在一起，点的场强为零，即　这就是电中和的意义。所谓等量异种电荷的中和，并不是说这些电荷不激发电场了，而是指它们聚集在一起，对外所激发的电场相互抵消。 例题 04-10-05-02 求电偶极子在其轴线的中垂线上某点的场强。 解 如图所示，令中垂线上某点到电偶极子中心的距离为，则在和的电场中，点的场强大小分别为　　， 即，它们的方向分别在电荷和到点的连线上，指向如图所示。读者可进一步自行求出点处总场强的大小为，或　　对电偶极子来说，，则，由此得　　的方向与电矩的方向相反(见图)。这样，在电偶极子轴线的中垂线上一点的场强，可表示成矢量式　　式中负号表示与反向。 例题 04-10-05-04 在垂直于均匀带电圆环的轴上的场强。如图，电荷均匀分布在一半径为的细圆环上。计算在垂直于环面的轴线上任一场点的场强。解：如图所示，沿轴线取坐标轴及单位矢量，设场点与圆环中心的距离为，在均匀带电圆环上任取一线元，它所带的电荷为，这个电荷元在点的场强为，其大小为　　(a)式中，为场点到电荷元的距离。的方向如图所示。 各电荷元在点激发的场强，其方向各不相同；但根据对称关系，它们在垂直于轴方向上的分矢量互相抵消，而沿轴的分矢量的方向一致。因而求点的总场强，就归结为求所有电荷元在点激发的场强沿轴分量的标量积分，即　　其中为与轴的夹角， 表示对整个带电圆环求积分。按题意，环上的线电荷密度为，因而，电荷元；又因 , 则　　并且对给定点来说，是定值而不是变量，所以，把上式代入前式，便成为 　式中，等于环的周长。于是，将所得结果表示成矢量式：　　设，，，由上式得场强的大小为　　的方向沿轴正向。也可写作。讨论：　当时， ，则上述公式变成　上式与点电荷的场强公式一致。亦即，在求远离环心处的场强时，可以将环上电荷看成全部集中在环心处的一个点电荷，并用点电荷的场强公式来求。读者试由上述的公式求环心点的场强，并根据场强的对称性分布阐释所得结果。说明：从以上各例可以看到，利用场强叠加原理求各点的场强时，由于场强是矢量，具体运算中需将矢量的叠加转化为各分量(标量)的叠加；并且在计算时，关于场强的对称性的分析也是很重要的，在某些情形下，它往往能使我们立即看出矢量的某些分量相互抵消而等于零，使计算大为简化。例题 04-10-05