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11氦原子基态能级
第一章 绪 论
1.1引言
对氦原子基态能级的探讨一般选用微扰法及变分法，本文重点讨论变分法对氦原子基态能级的求解。变分法是解决氦原子和类氦离子基态问题的强有力工具，到目前为止，国内外为追求高精度所选取的变分参数个数已由数百增至数千，在忽略核质量的情况下，它们的非相对论基态波函数和能量的不确定度分别达到10～10和10，这对于计算高精度的相对论修正和辐射修正具有非常重要的意义。在量子力学教科书中，一般介绍的近似求解法是微扰法和变分法，而变分法中选择的尝试波函数一般是一个参数型的，例如周世勋编《量子力学》、曾谨言著《量子力学教程》等介绍的便是用一个参数型的尝试波函数变分法求氦原子体系基态能级。
l.2 选题的依据和意义
1.2.1 选题的依据
在量子力学中，对于具体物理问题的薛定谔方程，可以精确求解的问题是很少的。在经常遇见的许多问题中，由于体系的哈密顿算符比较复杂，往往不能求得精确的解，而只能求近似解。微扰法和变分法都是用来求问题的近似解的方法。
用微扰法求氢原子和类氢离子是比较适合的，但是遇到比氢原子稍微复杂一点的氦原子时，微扰法就不及变分法容易和求解精确。用一参变分法即选用含一个参数的尝试波函数，这种波函数形式简单，其物理意义清晰，物理模型简单，适用于教育教学，但精确度比较低。选用含二参数的尝试波函数，这样的模型相对于更多参数的波函数要简单，又比一参变分法求解精确度高很多，这样既有利于理解怎样用变分法求基态能级，可适用于教学,又能求得比一参法更为精确的数值，因而具有重要的物理意义。
1.2.2 选题的意义
氦原子是比类氢离子这种单粒子体系复杂但是相对于其他粒子要简单的粒子，研究氦原子这种简单的多粒子体系，对于研究更复杂的多粒子体系具有重要的意义。变分法是解决氦原子和类氦原子的强有力工具，只要选择合适的试探波函数，对于提高求解能级近似值有很大的帮助。
l.3 本文的主要研究内容
本文主要研究氦原子的基态能级，通过应用双参数变分法，选择适当的试探波函数，求出氦原子基态能级的能量，并将计算值与试验值进行比较，再与用微扰法求出的氦原子基态能量结果进行对比，通过对比体现出用变分法求氦原子基态能级的优越性。
第二章 变分法介绍
2.1变分法原理
已知量子力学中用微扰法求解问题的条件是体系的哈密顿算符可以分为和两部分：
=+，
其中的本征值与本征函数是已知的，而很小。如果这些条件不能满足，微扰法就不能应用。因而在遇到不是很小的情况下，就需要寻找另外的求解方法，量子力学中求解问题的又一种简单方便的方法——变分法的应用不受上述条件的限制。
设体系哈密顿算符的本征值由小到大的顺序排列为：
,, ,，, (1)
与这些本征值对应的本征函数是：
,,,,, (2)
和是基态能量和基态波函数。为简单起见，我们假定的本征值E是分立的，本征函数组成正交归一系。于是有
(3)
设是任意一个归一化的波函数，将按展开：
(4)
在Ψ所描写的状态中，体系能量的平均值是
(5)
将(4)式代入(5)式，得
应用(3)式有
(6)
由于是基态能量，所以(n=1,2, …)，在上式中用代替，则
(7)
最后一步用了的归一化条件。
(6)式和(7)式给出：
(8)
这个不等式说明，用任意波函数算出的平均值总是大于体系基态能量，而只有当恰好是体系的基态波函数时，的平均值才等于能量。
上面讨论中曾假定是归一化的，如果不是归一化的，那么(5)式应该写为：
(9)
(8)式应写为
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