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证明初等不等式的函数方法 曲靖市麒麟区高级中学 付雪梅 邮编：655000 摘要：不等式在中学数学中占着很重要的位子。内容极其丰富，特别是不等式的证明，是最富创造性的数学问题类型之一。本论文结合高等数学函数部分的知识，利用函数的相关性质，介绍了几种证明不等式的方法。 关键词：不等式； 证明； 函数方法 引言 证明是中学数学的一个重要组成部分，也是中学数学的一个难点。中学数学中许多的问题都可以归结为不等式的证明。所以对于不等式的证明，是中学数学学习的重点。另外函数的应用渗透到数学的各个方面，利用函数的性质对证明一些不等式有着指导性的作用。 证明不等式通常是指证明所给的不等式，对于式中所含的变数的所有容许值恒能成立。由于复数不等比较大小，所以不等式的证明都限于实数范围内进行。 不等式的证明方法是多种多样的。技巧性比较强，如果证明的不等式是A＞B 那么常用的方法有以下几种： 利用A＞B的等价定义。证明A-B＞0 ，（B-A＜0） 利用不等式的基本性质。当B＞0时，证明；当A＞0，证明 。 利用不等式的传递性。证明A＞C，C＞B，其中C是一个代数式。 直接利用已知不等式。 无法直接证明时，利用反证法。 与自然数有关的不等式，用数学归纳法。 这些方法都是证明不等式的基本方法。当学习了函数之后，我们在证明不等式的时候就有了新的思路、新的方法。 函数是数学中重要的概念之一。函数概念是现实世界中事物相互联系、相互制约，运动变化在数量上的反映。本文主要介绍几种利用函数性质来证明不等式的方法。 正文 常见的证明不等式的函数方法 利用函数的单调性证明不等式 若在（a，b）上总有，则在（a，b）上单调增加；若在（a，b）上总有，则在（a，b）上单调减小。 证明当x＞1时，2＞3- 证明：令 ， 则 在[1，+∞）上连续，在（1，+∞）内.因此在[1，+∞）上 单调增加。从而当x＞1时， ，又，故 ，即即2＞3- 评注：解决这类问题，首先就是要构造辅助函数，求出，判断其在所给区间上的正负号，然后根据单调性来证明。 2．利用函数的极值证明不等式 若函数在区间[a,b]上连续，则在区间[a,b]上有最大值M和最小值m， 则 例2 证明当x＞0时， 证明：令 （x＞0） 易知 由于 故当0＜x＜1时，；当1＜x＜+∞，，从而在x=1处有极小值，而 ，故当时，，单调增加，由知0＜x＜1时，，当1＜x＜+∞时， ，从而在x=1处取极小值，而，故，即x＞0时， 。 评注：可见，若辅助函数在所讨论的区间上不是单调函数，证明的方法是：欲证当a＜x＜b时，有，只需证在（a，b）内的极小值；欲证当a＜x＜b时，有，只需证在a，b）内的极大值。从而完成不等式的证明。 2.构造二次函数（方程），利用判别式证明不等式 例3 证明对，有 证明：令 则有 （分母不等于0） 等价于 当时，该二次方程有解，故其判别式 即 从而 评注: 用这样的方法证明不等式需要对不等式本身加以观察，要对判别式熟练 掌握，才可应用。 （二） 证明不等式的其他函数方法 凸函数定义： 设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点和任意实数， 总有 ，则称f为I上的凸函数。反之如 果有 ，则称f为I上的凹函数。 凸函数的判定： 设f为I上的可导函数，则下列论断互相等价： ⅰ f为I上凸函数 ⅱ 为I上增函数 ⅲ 对I上的任意两点，有 1.积分不等式方法 ① 若在[0,a]上连续，f为二阶可导，且，则有 证明：由知， 令 即有 而 ， ， 故有 ②施瓦兹不等式：若f和g在[a,b]上可积，则 证明：因为f，g在[a,b]上都可积，所以及，在[a,b]上都可积。 由性质因为上式对一切实数t都成立，所以必须有 即施瓦兹不等式成立。 在施瓦兹不等式中取，，则g在[a.,b]上也可积。可推出 即 这两个积分不等式都是属于高等数学的内容，但是对于解决一些证明初等不等式的问题有着指导性的作用。 例4 在中令 可得 若在中令 可得不等式 即可得 2. 拉格朗日乘数法 拉格朗日乘数法是一种不直接依赖消元而求解条件极值问题的有效方法。 我们从皆为二元函数这一简单情况入手。欲求函数