《数学周报》杯2011年全国初中数学竞赛试题及答案.docVIP

中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题参考答案 题 号 一 二 三 总 分 1～5 6～10 11 12 13 14 得 分 评卷人 复查人 答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答. 2．解答书写时不要超过装订线. 3．草稿纸不上交. 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分） ，则代数式的值为（ ） （A）24 （B）25 （C） （D） 2、对于任意实数a，b，c，d，定义有序实数对（a，b）与（c，d）之间的运算“△”为：（a，b）△（c，d）=（ac+bd，ad+bc）。如果对于任意实数u，v，都有（u，v）△（x，y）=（u，v），那么（x，y）为（ ） （A）（0，1） （B）（1，0） （C）（-1，0） （D）（0，-1） 3、若x1，y0，且满足xy=xy，，则x+y的值为（ ） （A）1 （B）2 （C） （D） 4、点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，BE，CD相交于点F，设S四边形EADF=S1，S△BDF=S2， S△BCF=S3，S△CEF=S4，则S1S3与S2S4的大小关系为（ ） （A）S1S3 S2S4 （B）S1S3=S2S4 （C）S1S3S2S4 （D）不能确定 5、设，则4S的整数部分等于（ ） （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 二、填空题（每小题7分，共35分） 6、若关于x的方程（x-2）（x2-4x+m）=0有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m的取值范围是___________。 7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8。同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数5的概率是_________。 8、如图，点A，B为直线y=x上的两点，过A，B两点分别作y轴 的平行线交双曲线（x0）于C，D两点。若BD=2AC， 则的值为________。 9、若的最大值为a，最小值为b，则a2+b2的值为___________。 10、如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF内接 于△ABC，且其边长为12，则△ABC的周长为__________。 三、解答题（每题20分，共80分） 11、已知关于x的一元二次方程x2+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x2+ax+b=0的两个根都大1，求a+b+c的值。 12、如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2相交于点D，延长AD交CH于点P，求证：点P为CH的中点。 13、如图，点A为y轴正半轴上一点，A，B两点关于x轴对称，过点A任作直线交抛物线于P，Q两点。 （1）求证：∠ABP=∠ABQ （2）若点A的坐标为（0，1），且∠PBQ=60o，试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式。 14、如图，△ABC中，∠BAC=60o，AB=2AC，点P在△ABC内，且PA=，PB=5，PC=2，求△ABC的面积。 答案 1.A 解： = = = = 当时 原式= = =24 2.B 解：∵（a，b）△（c，d）=（ac+bd，ad+bc） ∴（u，v）△（x，y）=（ux+vy，uy+vx） ∵（u，v）△（x，y）=（u，v） ∴（ux+vy，uy+vx）=（u，v） ∴ ux+vy= u，uy+vx=v ∴ x=1，y=0 ∴（x，y）=（1，0） 3.C 解：由题设可知，于是 ，所以． 故，从而．于是． 4.C 解：如图，连接，设， 则，从而有．因为，所以． 5.A 解：当k=2,3，···，99，因为， 所以1＜＜＜. 于是有，故的整数部分等于4． 6.3＜x≤4 解：∵有三个根 ∴≥0 16-4m≥0 ∴m≤4 另外两个根分别为， ∵三个根组成三角形的三条边 ∴＞ ＜1 ∴4-m＜1 ∴m＞3 ∴3＜m≤4 7. 解：P(