2003年第1届创新杯数学邀请赛初中2年级第2试试题参考答案w.docVIP

2003年第一届“创新杯”数学邀请赛 初中二年级第二试答案 一．选择题 1．B 原式==4 2．D 设 x3+ax2+bx+8=(x+1)(x+2)(x+c) 分别取x= 1 及 x= -2，有 , 解得 ，于是a+b=21. 3． C 由MA=MB=MC，可得∠ACB=90o。于是AC2+BC2=AB2，即AC2+BC2=100。 又AC+BC+AB=24，即AC+BC=14。 S△ABC=AC·BC =[（AC+BC）2-（AC2+BC2）] = （142-100）=24。 4．A 由0nm100，得m≥n，故有 (1+m%)(1-n%)≥(1+)(1-) ≥[1+%][1-%] ≥(1+n%)(1-m%) 5. C 显然为等边三角形，∠ADC+∠ADB=60o。又△DAB，△DAC都是等腰三角形，于是∠DAC=（180o-∠ADC），∠DAB=（180o-∠ADB）。 ∠BAC=（180o-∠ADC）+（180o-∠ADB）= 180o-（∠ADC+∠ADB）= 150o 6．B 由14(a2+b2+c2)=(a+2b+3c)2，可得 (2a-b)2+(3a-c)2+(3b-2c)2=0, 于是2a-b=3a-c=3b-2a, 从而b=2a,c=3a， 所以a:b:c=1:2:3. 7. B 原式=， 其中分子= a3(c-b)-a(c3-b3)+bc(c2-b2) = (c-b)[a3-a(c2+bc+b2)+bc(b+c)] = (c-b)[b2(c-a)+bc(c-a)-a(c2-a2)] = (c-b)(c-a)(b2+bc-a2-ac) =(c-b)(c-a)[c(b-a)+(b-a)(b+a)] = (c-b)(c-a)(b-a)(a+b+c) 分母= a2(c-b)-a(c2-b2)+bc(c-b)=(c-b)[ a2-(c+b)a+bc]=(c-b)(a-c)(a-b) 所以，原式=a+b+c 8．C 设原等腰三角形中，AB=AC。 （1）如图1，AD=DB=BC， 顶角为36o； （2）如图2，AD=BD， BC=CD， 顶角为； （3）如图3，BD=AD=CD， 顶角为90o； （4）如图4， BD=AD，CA=CD，顶角为108o。 图1 图2 图3 图4 9． C 由，得x-2=-，两边平方后整理得x2-4x+2=0; =( x2-4x+2)( x2+x-2)+5x+3=5x+3=5(2-)-3=7-5 10． C 设=t（t为整数），则x=，故3x+1-t==， 所以0≤1，于是, 从而 t = -2或-3， 于是x = 或 其和为-2。 二．A组填空题 11． 11 由z是奇数知(z+120)为奇数，故x(x+y)是奇数，从而x, x+y是奇数，故y为偶质数2。 z=x(x+2)-120=(x-10)(x+12), 因z是奇质数，故x-10=1,x=11. 12． 2 可求得直角三角形的斜边长为13，由面积关序可知(5+12+13)d=×5×12 所以， d=2 13． (x-2003)(2003x+1) 原式= 2003x2-20032x+x-2003=2003x(x-2003)+(x-2003)= (x-2003)(2003x+1) 14． x=166,y=3,z=2 将xyz+xy+yz+zx+x+y+z=2003两边同时加1后，再将左边因式分解得： (x+1)(y+1)(z+1)=2004=167×4×3, 因x+1y+1z+12, 于是x+1=167, y+1=4, z+1=3, 从而x=166,y=3,z=2 15． 31 如图，设等边三角形ABC的边长为a, 过A作 AF⊥BE于F. 易知CD=，CE= ，AF=。 因 DC+CE=DE=AF， 故+=， 解得a2=124 于是等边ΔABC的面积为a2=31 16． 2401 设n+99=a2, n+200=b2(a,b是正整数，且ba), 两式相减得b2-a2=101,即(b+a)(b-a)=101, 因101是质数，故， 解得，所以n= a2-99=2401. 17. 30o 过A作DA⊥AC 交BC于D，则∠DAB=∠CAB-90o=∠B, 于是DA=DB；设DA=DB=DB=x，AC=y, 则BC=y；于是x2+y2=(y-x)2， 所以 x=y。 因为CD2=AC2+AD2=y2+(y)2=y2，即CD=y, 所以CD=2AD，故∠C=30o。 18．5 如下图构造一个几