从特殊到一般,在运动变化中寻找不变.docVIP

从特殊到一般，在运动变化中寻找不变 ——对北京2008年中考22题 图1 第二种特殊情况：当小菱形以B为中心顺时针旋转60°时，探究CP与PG垂直关系是否成立．实际上，题目在此引领了图形在运动变化中特殊位置的探究． 如图2，根据图1中的方法延长GP，延长线与菱形的交点H在AD边上，但由于∠FGB=∠CBG=60°，所以GF∥CB，于是仍然有DH∥GF．这样，我们就按上面的思路，仍然通过证明DPH≌△FPG(ASA)得出点P是HG中点． 图2 图3 与第一种情况的不同之处是，证明CH=CG时又一次利用了三角形全等，即△CDH≌△CBG(SAS)，此时∠CDH=∠CBG=60°．所以三角形CHG仍是等腰三角形（CH=CG），CP⊥PG仍成立． 二、从特殊到一般，保持不变 图4 这样我们就可以用与特殊情况中完全相同的方法，即通过△DPH≌△FPG(ASA)，来证明P是HG中点．到此，我们可以猜想CP⊥PG保持不变． 三、在变化中寻找不变证明∠CDH=∠CBG CH=CG. ．再利用等腰三角形的性质，就可以完成证明了． 结论是CP与PG垂直关系仍然成立． 图5.1 图5.2 四、进一步一般化，尝试新的探究和发现 在运动变化中寻找不变的方法，是探究图形性质的一个很好的方法，它不仅能够指导我们寻找解题思路，还能帮助我们在数学王国中去探究发现． 我们知道菱形是邻边相等的平行四边形，如果我们把菱形一般化为平行四边形，那么将会有什么结论呢？ 如图6，□ABCD与□BEFG邻边之比相同，P是DF中点，延长GP与CD交于H．从图中看出，显然CP与PG不垂直，CH与CG不等，这是由于该平行四边形邻边不等造成的． 如果设AB∶BC=BE∶EF=k（菱形情况k=1），那么CH∶CG与k有什么关系呢？请你经过探究发现结论．如图7，让小平行四边形以B为中心顺时针旋转任意角度，你发现的结论还成立吗？ 图6 图7 动手试一试吧！运用前面的方法，抓住运动变化中的不变，你会在探究中享受做数学的乐趣．（提示：图6中，．图7中，△CDH∽△CBG，．） 本文发表在《中学生数学》2009年第5期 4