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高三数学 空间距离 1.两条异面直线间的距离 和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离. 2.点到平面的距离 从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离 如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离. 4.两平行平面间的距离 和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离. 题型一：两条异面直线间的距离 【例1】 如图，在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，E、F分别是AB、CD的中点. (1)求证：EF是AB和CD的公垂线； 求AB和CD间的距离； (1)证明：连结AF，BF，由已知可得AF=BF. 又因为AE=BE，所以FE⊥AB交AB于E. 同理EF⊥DC交DC于点F. 所以EF是AB和CD的公垂线. (2)在Rt△BEF中，BF=,BE=, 所以EF2=BF2-BE2=2，即EF=. 由(1)知EF是AB、CD的公垂线段，所以AB和CD间的距离为. 【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法： （1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度. （2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，转化为求直线与平面的距离. （3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离. 题型二：点到面的距离 【例2】 如图,正四面体ABCD的棱长为1，求：A到平面BCD的距离； 过A作AO⊥平面BCD于O，连BO并延长与CD相交于E，连AE. ∵AB=AC=AD,∴OB=OC=OD.∴O是△BCD的外心.又BD＝BC＝CD， ∴O是△BCD的中心，∴BO=BE=. 又AB＝1，且∠AOB=90°, ∴AO=. ∴A到平面BCD的距离是. 例3、在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=,AB=a,AD=3a且sin∠ADC=,又PA⊥平面ABCD,PA=a, 求：(1)二面角P—CD—A的大小; (2)点A到平面PBC的距离. 解：(1)作AF⊥DC于F,连结PF, ∵AP⊥平面ABCD,AF⊥DC,∴PF⊥DC, ∴∠PFA就是二面角P—CD—A的平面角. 在△ADF中,∠AFD=90°,∠ADF=arcsin,AD=3a,∴AF=, 在Rt△PAF中tan∠PFA=,∴∠PFA=arc tan. (2)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC,又BC⊥AB, ∴BC⊥平面PAB,作AH⊥PB,则BC⊥AH,∴AH⊥平面PBC,∵PA⊥AB,PA=AB=a, ∴PB=a,∴AH=. 例4、如图，所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.（Ⅰ）求BF的长；（Ⅱ）求点C到平面AEC1F的距离. 解法1：（Ⅰ）过E作EH//BC交CC1于H，则CH=BE=1，EH//AD，且EH=AD. ∵AF∥EC1，∴∠FAD=∠C1EH. ∴Rt△ADF≌Rt△EHC1. ∴DF=C1H=2. （Ⅱ）延长C1E与CB交于G，连AG， 则平面AEC1F与平面ABCD相交于AG. 过C作CM⊥AG，垂足为M，连C1M， 由三垂线定理可知AG⊥C1M.由于AG⊥面C1MC， 且AG面AEC1F，所以平面AEC1F⊥面C1MC. 在Rt△C1CM中，作CQ⊥MC1，垂足为Q，则CQ的长即为C到面AEC1F的距离. 解法2：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，4，0）， A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.设F（0，0，z）. ∵AEC1F为平行四边形， （II）设为面AEC1F的法向量， 的夹角为a，则 ∴C到平面AEC1F的距离为 例5、正三棱柱的底面边长为8，对角线，D是AC的中点。 （1）求点到直线AC的距离.（2）求直线到平面的距离． 解：（1）连结BD，，由三垂线定理可得：， 所以就是点到直线AC的距离。 在中． ． （2）因为AC与平面BD交于ＡＣ的中点Ｄ， 设，则//DE，所以//平面， 所以到平面BD的距离等于Ａ点到平面BD 的距离，等于Ｃ点到平面BD的距离，也就等于三棱 锥的高， ， ，，即直线到平面BD的距离是． 【解后归纳】 求空间距离注意三点： 1．常规遵循一作二证三计算的步骤； 2．多用转化的思想求线面和面面距离； 3．体积法是一种很好的求空间距离的方法．