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LUOYANG NORMAL UNIVERSITY 2015届本科毕业论文 正项级数收敛性判别法及应用 院（系）名称 数学科学学院 专 业 名 称 数学与应用数学 学生姓名 尹清草 学号 130412014 指导教师 张国利 讲师 完 成 时 间 2015.5 正项级数收敛性判别法及应用 尹清草 数学科学学院 数学与应用数学 学号：130412014 指导教师：张国利 摘要：本文总结了一些判别正项级数收敛性的方法和定理，对一些不常见的定理进行了证明，并举例说明了这些定理在判断正项级数收敛性方面的应用. 关键词：正项级数；收敛性；判别法 1 引言 级数收敛性的判别是数学分析中一项很重要的内容，研究正项级数收敛与发散的判定方法对级数理论的研究有很重要的意义.柯西判别准则给出了判断级数收敛的充要条件，但通常在判别具体级数的敛散性时,使用柯西判别准则是有困难的,甚至是无法进行的.对其敛散性的判别方法也有别于一般的级数，除适用于一般级数的敛散性判别法外，还有许多专门针对正项级数的敛散性判别法，以下予以说明. 2 基本概念 定义1 同号级数是指级数 每一项的符号都非负或都非正. 若,，则称级数是正项级数；若，则称级数是负项级数. 定义2 若正项级数的部分和数列收敛于S，则称正项级数收敛，称S为正项级数的和； 若是发散数列，则称正项级数发散 . 3 定理 定理1 （级数收敛的柯西准则）级数收敛的充要条件是：任给正数，总存在正整数，使得当以及对任意的正整数，都有 . 级数发散的充要条件：存在某正数，对任何正整数，总存在正整数和，有. 例1 讨论调和级数的敛散性. 解 令，则 . 因此，取，对任何正整数，只要和就有 成立，所以调和级数是发散的. 定理2 （充要条件）正项级数收敛的充要条件是：部分和数列有界，即存在某正数，对一切正整数 有. 例2 证明级数 收敛，并求和. 证 因为 所以级数收敛，且. 例3 判别正项级数（其中 是单调递增而且有界的正数数列）的敛散性. 解 首先因为 是单调递增的有界正数数列，所以 . 现考察原级数的部分和数列 ，由于 ， 又有界，即（ 为常数），故 ， 所以也是有界的.由正项级数收敛的充要条件知原级数收敛. 定理3 （比较原则）设和是两个正项级数，如果存在某正数 ，对一切 都有 ， 则（i）若级数收敛，则级数也收敛； （ii）若级数发散，则级数也发散. 推论1 设 (1) (2) 是两个正项级数，若 ， 则（i）当时，级数(1)、（2）同时收敛或同时发散； （ii）当且级数（2）收敛时，级数（1）也收敛； （iii）当且级数（2）发散时，级数（1）也发散. 推论2 给定两个正项级数 和 ，且从某个自然数 开始，当 时， 与 成立，则有 （i）若级数收敛，则级数也收敛； （ii）若级数发散，则级数也发散. 推论3 给定正项级数，若 ，则有 （i）当 时，级数收敛； （ii）当时，级数发散. 例4 考察的收敛性. 解 由于当时，有 因为正项级数收敛，故由比较原则知，级数也收敛. 例5 考察级数的收敛性. 解 由于 ， 又因为等比数列收敛，根据推论1，级数也收敛. 定理4 （达朗贝尔判别法，或称比式判别法）设为正项级数，且存在某正整数及常数 (). (i)若对一切,成立不等式 ， 则级数收敛. （ii）若对一切，成立不等式 ， 则级数发散. 推论4（比式判别法的极限形式）若为正项级数，且 ， 则（i）当时，级数 收敛； （ii）当或时，级数发散. 推论5 设为正项级数，且 ， （i）若 ，则级数收敛； （ii）若 ，则级数发散. 例6 设， ，证明 收敛. 证 由于 ， 故 ，即 ， 所以 ， 由比式判别法知，级数 收敛. 例7 考察级数的敛散性. 解 由于 ， 根据比式判别法的推论知，级数发散. 例8 判别级数 的敛散性. 解 当 时， ，级数收敛； 当 时，级数发散； 当 时，级数为调和级数（缺首项），故发散. 定理5 （柯西判别法，或称根式判别法）设为正项级数，且存在某正数及正常数， （i）若对一切，成立不等式 ， 则级数收敛； （ii）若对一切，成立不等式 ， 则级数发散. 推论6（根式判别法的极限形式）设为正项级数，且 ， 则（i）当时，级数收敛； （ii）当时，级数发散. 例9 研究级数的敛散性. 解 由于 ， 根据根式判别法的推论知，级数是收敛的. 定理6 （积分判别法） 设为上非负减函数，那么正项级数与反常积分 同时收敛或同时发散. 例10 研究级数的敛散性. 解