第四章量纲分析与轮廓模型.pptVIP

一. 量与量纲 1. 量及其度量 10. 模型所涉及的主要是量不是数 20. 量（物理量）可以分为： 基本量：基础的，独立的量 长度、质量、时间、… 导出量：由基本量通过自然规律导出的量 速度、加速度、力、… 30. 量的度量体系 — 单位制： 基本量及其度量单位 40. 国际单位（SI）制 基 本 量 名称 单位 符号 长度 L 米 m 质量 M 千克 kg 时间 T 秒 s 电流强度 I 安培 A 温度 Θ 开尔文 K 光强 J 坎德拉 cd 物质的量 N 摩尔 mol 导 出 量 名称 单 位 符 号 力 牛 顿 N（kgms-2） 能量 焦 耳 J（kgm2s-2） 功率 瓦 特 W（kgm2s-3） 频率 赫 兹 Hz（s-1） 压强 帕斯卡 Pa（kgm-1s-2） 2. 量纲： 10. 量纲：一个物理量Q一般都可以表示为基本量乘幂之积。称这个乘幂之积的表达式 [Q]=Lα M β T γ I δ Θ ε J ζ N η 为该物理量对选定的这组基本量的量纲积或量纲表达式。α, β, γ, δ, ε, ζ, η 称为量纲指数。 例. [长度]=L、[质量]=M、[时间]=T、 [面积]=L2 [体积]=L3、 [速度]=LT-1, [加速度]=LT-2、[力]=MLT-2, [能量]=ML2T-2. 注 1. 物理量的量纲只依赖于基本量的选择，独立于单位的确定。 2. 对于某个物理量Q, 如果 [Q]=Lα M β T γ I δ Θ ε J ζ N η， 有α=β=γ=δ=ε=ζ=η=0，则称之为无量纲量，记为[Q]=1 。它将不依赖于选定的基本量。 3. 无量纲量不一定是无单位的量。 20. 量纲齐次法则 一个规律的数学表达式中每一个加项的量纲必须是一致的，或者都是无量纲量。 例 1 建模描述单摆运动的周期 问题：质量为m的小球系在长度 为 l的线的一端, 铅垂悬挂。小 球稍稍偏离平衡位置后将在重 力的作用下做往复的周期运动。 分析小球摆动周期的规律。 假设： 1. 忽略空气阻力； 2. 忽略可能的磨擦力； 3. 平面运动，忽略地球自转； 4. 忽略摆线的质量和变形。 分析建模 10. 列出有关的物理量 运动周期 t，摆线长 l，摆球质量 m，重力加速度 g，振幅 θ. 20. 写出量纲 [t]=T，[l]=L，[m]=M，[g]=LT-2，[θ]=1. 30. 写出规律 F(t, l, m, g, θ)= 0. 40. 写出规律中加项 π 的形式 π=t α1 l α2 m α3 g α4 θ α5 50. 计算 π 的量纲 [π] = Tα1Lα2Mα3( LT-2)α4 = Tα1-2α4Lα2 + α4M α3 60. 应用量纲齐次原理 由[π] = 1, 可得关于αi (i ＝1, …, 5)的方程组 α1 - 2α4 = 0 α2 + α4 = 0 α3 = 0 ?5 任意 70. 解方程组 解空间的维数是二维。 对自由变量(?4， ?5)选取基底(1, 0)和(0, 1)。 关于 ?1, ?2, ?3 求解方程组可得基础解系