第二章极限与连续.pptVIP

第二章 极限与连续 第一节 数列的极限 第二节 函数的极限 第三节 极限运算法则、两个重要极限 第四节 无穷小量、无穷大量 第五节 函数的连续性 第六节 闭区间上连续函数的性质 第一节 数列的极限 一、数列极限的概念 二、数列极限的几何意义数列极限的性质 三、小结 三、小结 第二节 函数的极限 一、自变量趋向有限值时函数的极限 二、自变量趋向无穷大时函数的极限 三、函数极限的性质 四、极限存在准则 一、x?x0时，函数的极限 三、x??时，函数的极限 四、极限值与函数值的关系： 第三节 极限运算法则、两个重要极限 一、极限运算法则 二、两个重要极限 二、两个重要极限 第四节 无穷小量、无穷大量 一、无穷小量 二、无穷小的比较 三、无穷大量 四、无穷大量与无穷小量的关系 一、无穷小量 二、无穷小的比较 三、无穷大量 四、无穷大量与无穷小量的关系 第五节 函数的连续性 一、函数的连续性 二、函数的间断点及类型 三、初等函数的连续性 一、函数的连续性 二、函数的间断点及类型 三、初等函数的连续性 第六节 闭区间上连续函数的性质 一、有界性与最大值最小值定理 二、零点存在定理与介值定理 一、有界性与最大值和最小值定理 二、零点存在定理与介值定理 第五节 函数的连续性 定理4 注意　定理4是定理3的特殊情况. 例如, 第五节 函数的连续性 第四节 无穷小量、无穷大量 例如， 第四节 无穷小量、无穷大量 例1 解 第四节 无穷小量、无穷大量 例2 因为 常用等价无穷小: 第四节 无穷小量、无穷大量 例3 解 第四节 无穷小量、无穷大量 定理4(等价无穷小代换定理) 证 第四节 无穷小量、无穷大量 例4 解 第四节 无穷小量、无穷大量 例5 解： 注意：只有极限式中的因子才可再求极限时作等价无穷小代换。 第四节 无穷小量、无穷大量 第四节 无穷小量、无穷大量 特殊情形：正无穷大，负无穷大． 注意 （1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆; （3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大. 第四节 无穷小量、无穷大量 不是无穷大． 无界， 第四节 无穷小量、无穷大量 证 第四节 无穷小量、无穷大量 定理5 在自变量的同一变化过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证 第四节 无穷小量、无穷大量 意义： 关于无穷大的讨论,都可转化为关于无穷小的讨论. 第五节 函数的连续性 第五节 函数的连续性 第五节 函数的连续性 例1 证 由定义2知 第五节 函数的连续性 定理 第五节 函数的连续性 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如, 第五节 函数的连续性 例2 证 第五节 函数的连续性 例3 解 右连续但不左连续 , 第五节 函数的连续性 第五节 函数的连续性 可去间断点 例4 第五节 函数的连续性 解 注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点. 在此例中, 第五节 函数的连续性 跳跃间断点 例5 解 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 第五节 函数的连续性 第二类间断点 例6 解 第五节 函数的连续性 例7 解 第五节 函数的连续性 定理1 例如, 1、四则运算的连续性 第五节 函数的连续性 第五节 函数的连续性 例如, 反三角函数在其定义域内皆连续. 2、反函数与复合函数的连续性 定理3 意义 1.极限符号可以与函数符号互换; 第五节 函数的连续性 例1 解 第五节 函数的连续性 第三节 极限运算法则、两个重要极限 定理1 证： 一、极限运算法则 用定义证明，略。 推论1 常数因子可以提到极限记号外面. 第三节 极限运算法则、两个重要极限 推论2 例1 解 第三节 极限运算法则、两个重要极限 解 例2 小结: 第三节 极限运算法则、两个重要极限 例4 解 第三节 极限运算法则、两个重要极限 小结: 以分母中自变量的最高次幂除分子,分母, 然后再求极限. 第三节 极限运算法则、两个重要极限 思考题 在某个过程中，若 有极限， 无极限，那么 是否有极限？为什么？ 第三节 极限运算法则、两个重要极限 解答： 没有极限。 假设 有极限， 有极限， 由极限运算法则可知： 必有极限， 与已知矛盾， 故假设错误。 证 第二节 函数的极限 上面两个不等式同时成立,即 上述数列极限存在准则可以推广到函数的极限。 第二节 函数的极限 注意: 准则 I和准则 I称为夹