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第三章 多维随机变量及其概率分布 第一节 多维随机变量的概念 一、二维随机变量及其分布函数 二、二维离散型随机变量 三、二维连续型随机变量的概率 密度和边缘概率密度 第一部分 二维随机变量的概念 一、二维随机变量及其分布函数 例3-1 判断如下二元函数是否为某二维随机变量的分布函数。 二、二维离散型随机变量 例3-2　设（Ｘ,Ｙ）的分布律如下，求a的值． 例3-3　设（Ｘ,Ｙ）的分布律为 三、二维连续型随机变量 例3-8 设二维随机变量（X，Y）的分布函数为 四、两个常用的分布 两个特殊的情形： 例3-9 已知随机变量 ( X , Y ) 在 D上服从均匀分布,其中D： 五、小结 第二部分 边缘分布 一、边缘分布函数 二、离散型随机变量的边缘分布律P64 例3-6 设盒中有2个红球和3个白球，从中每次任取一球，连续求两次，记X、Y分别表示第一次与第二次取出的红球个数，分别对有放回摸球与不放回摸球两种情况求出(X,Y)的分布律与边缘分布律。 例3-6 设盒中有2个红球和3个白球，从中每次任取一球，连续求两次，记X、Y分别表示第一次与第二次取出的红球个数，分别对有放回摸球与不放回摸球两种情况求出(X,Y)的分布律与边缘分布律。 例3-6 设盒中有2个红球和3个白球，从中每次任取一球，连续求两次，记X、Y分别表示第一次与第二次取出的红球个数，分别对有放回摸球与不放回摸球两种情况求出(X,Y)的分布律与边缘分布律。 例3-6 设盒中有2个红球和3个白球，从中每次任取一球，连续求两次，记X、Y分别表示第一次与第二次取出的红球个数，分别对有放回摸球与不放回摸球两种情况求出(X,Y)的分布律与边缘分布律。 由上例，在有放回摸球与不放回摸球两种情况下， (X,Y)的边缘分布律完全相同，但(X,Y)的分布律却不相同，这表明(X,Y)的分布律不仅反映了X与Y两个分量的概率分布，而且反映了它们之间的关系。 说明：若两个分量的概率分布完全相同，但分量之间的关系却不相同，则它们的分布律也会不同。 三、连续型随机变量的边缘分布P69 例3-13 设(X,Y)的概率密度如下所示，求P{X?1/2} 四、小结 第二节 相互独立的随机变量 一、随机变量的相互独立性 例3-15 判断例3-6(P65)中X与Y是否相互独立. 例3-17 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 例3-18 设二维随机变量 例3-19 设二维随机变量(X,Y)在以原点为圆心,半径为1的圆域上服从均匀分布, 问X与Y是否相互独立. 例3-20 设X与Y是相互独立的随机变量, X在[-1,1]上服从均匀分布, Y服从参数?=2的指数分布, 求(X,Y)的概率密度. 二、二维随机变量的推广 三、小结 第三节　两个随机变量的函数的分布 一、问题的引入 二、离散型随机变量函数的分布 三、连续型随机变量函数的分布 四、小结 2.概率密度函数 其它依次类推. 3.边缘分布函数 4.边缘概率密度函数 5. 相互独立性 6.重要结论 6. 举例 1. 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为 二、离散型随机变量函数的分布 三、连续型随机变量函数的分布 四、小结 一、问题的引入 　　为了解决类似的问题下面 我们讨论随机变量函数的分布. 解 练习 例5 解 由于 于是 则有 即 同理可得 二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布, 请同学们思考 边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分 布一定是二维正态分布吗? 不一定. 举一反例以示证明. 答 因此边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布不一定是二维正态分布. 解： 联合分布 边缘分布 一、随机变量的相互独立性 二、二维随机变量的推广 三、小结 1.定义 2.说明 (1) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为 有放回摸球情况下 不放回摸球情况下 X与Y相互独立 X与Y不相互独立 二维离散型随机变量的独立性举例 解 例3-16 二维离散型随机变量的独立性举例 (1)由分布律的性质知 特别有 又 (2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有 因为 X 与 Y 相互独立, 解 所以 求随机变量 ( X, Y ) 的分布律. 练习 设两个独立的随机变量 X 与Y 的分布律为 二维离散型随机变量的独立性举例 例3-14 设二维随机变量（X，Y）的分布函数为 解 证明X与Y相互独立. 由于 所以 故X与Y相互独立 二维连续型随机变量的独立性举例 证明X与Y相互独立. 解 由于 所以 故X与Y相互独立 二维连续型随机变量的独立性举例 证明X与