第三章一维射影几何学.pptVIP

定理2: 两个射影点列成透视的充要条件是:两点列的 公共点自对应 定理 : 两个射影线束成透视的充要条件是:两线束的公共线自对应 证明定理2: 必要性: 设直线l上的点列A,B,C, ……与直线 上的点列 …… 成透视.透视心为s.设P为l与 的交点.这一点看作l上一点,其在 上的对应点 显然是这一点自身. 充分性: 设l 与 有两射影点列: 且l与 的交点自对应,即P≡ .下面来证明这两点列实际上成透视,即是说任意一对对应点的联 线 通过一定点. ( A,B,C,…… ) ( ) 联接A, ;B, 所得的直线相交于S,并设S与l上任意一点M的联线交 于 ,于是交比 由射影对应的假设,又有 ∴ ≡ ∴ 任意一对对应点的联线 通过一定点. ∴ l P C A B M S ( A,B,C,……） （ ） ∴ 两点列成透视 定理3: 对于两个不共底且不成透视的射影对应点列,用两回透视对应就可以使第一点列转换为第二点列.换言之,这时的射影对应是由两回透视对应组成的 证明: 设A,B,C, ……是以l 为底的 点列, 是以 为底的 点列 （如图5） .两者成射影对应: 联接与第一点列上诸点,得一与之成射影对应的线束记为 .同样联接A与第二点列上诸点,得一与之成射影对应的线束 .由射影对应的传递性得 C A B 图5 a b c L l ( A,B,C,…… ) ( ) A( ) ∴ A ( ) ∴ A ( ) 由两线束成透视对应,则对应线的交点 在同一直线 上 ∴ ( A,B,C,…… ) ( ) ∵ 这两线束的公共线 是自对应的 以 和A作透视心,经过两回透视第一点列转换成第二点列. 定理4: 设一个点列与一个线束成射影对应而不成透视对应,那么用三回透视就可以彼此转换.换言之这时的射影对应是由三回透视组成. 例1: 解: 证明： 已知一直线l上三点A,B,C求作第四点D使交比(AB,CD)= 过C点任作一直线,在其上任取一点 , 并在其上作出一点 使有向线段之比 (若 0则 与 在C 的同侧若 0 则在异侧).以S表示 与 的交点,过S作 的 平行线交AB于所求点D 设直