概率论与数理统计第二章.pptVIP

第二章 随机变量及其分布 第一节 随机变量的定义 第二节 离散型随机变量 第三节 连续型随机变量 第四节 随机变量函数的分布 二、离散型随机变量函数的分布 解： 当 X 取值 1，2，5 时， Y 取对应值 5，7，13， 例1 设X 求 Y= 2X + 3 的概率函数. ～ 而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生 的事件，两者具有相同的概率. 故 如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当 并项即可. 一般，若X是离散型 r.v ，X的概率函数为 X ～ 则 Y=g(X) ～ 如： X ～ 则 Y=X2 的概率函数为： Y ～ 三、连续型随机变量函数的分布 解：设Y的分布函数为 FY(y)， 例2 设 X ~ 求 Y=2X+8 的概率密度. FY(y)=P{ Y y } = P (2X+8 y ) =P{ X } = FX( ) 于是Y 的密度函数 故 注意到 0 x 4 时， 即 8 y 16 时， 此时 Y=2X+8 例3 设 X 具有概率密度 ,求Y=X2的概率密度. 求导可得 当 y0 时, 注意到 Y=X2 0，故当 y 0时， 解： 设Y和X的分布函数分别为 和 ， 若 则 Y=X2 的概率密度为： 即 (三)常见的连续型随机变量 正态分布、均匀分布、指数分布 正态分布是应用最广泛的一种连续型分布. 正态分布在十九世纪前叶由 高斯(Gauss)加以推广，所以通常称为高斯分布. 德莫佛 德莫佛（De Moivre)最早发现了二项分布的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面. 一、正态分布 你们是否见过街头的一种赌博游戏? 用一个钉板作赌具。 下面我们在计算机上模拟这个游戏： 街头赌博 高尔顿钉板试验 高 尔 顿 钉 板 试 验 这条曲线就近似我们将要介绍的正态分布的密度曲线。 (I)、正态分布的定义 若r.v. X 的概率密度为 记作 f (x)所确定的曲线叫作正态曲线. 其中 和 都是常数， 任意， 0， 则称X服从参数为 和 的正态分布. (Normal) (II)、正态分布 的图形特点 正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形曲线. 特点是“两头小，中间大，左右对称”. 决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰的陡峭程度. 正态分布 的图形特点 故f(x)以μ为对称轴，并在x=μ处达到最大值: 令x=μ+c, x=μ-c (c0), 分别代入f (x), 可得 f (μ+c)=f (μ-c) 且 f (μ+c) ≤f (μ), f (μ-c)≤f (μ) 这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越贴近x轴。即f (x)以x轴为渐近线。 当x→ ?∞时，f(x) → 0, 用求导的方法可以证明， 为f (x)的两个拐点的横坐标。 x = μ ? σ 这是高等数学的内容，如果忘记了，课下再复习一下。 实例 年降雨量问题，我们用上海99年年降雨量的数据画出了频率直方图。 从直方图，我们可以初步看出，年降雨量近似服从正态分布。 下面是我们用某大学大学生的身高的数据画出的频率直方图。 红线是拟合的正态密度曲线 可见，某大学大学生的身高应服从正态分布。 人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人数大致相近，这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特点。 除了我们在前面遇到过的年降雨量和身高外,在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布. (III) 、设X~ , X的分布函数是 (IV)、标准正态分布 的正态分布称为标准正态分布. 其密度函数和分布函数常用 和 表示： 它的依据是下面的定理： 标准正态分布的重要性在于，任何一个 一般的正态分布都可以通过线性变换转化为 标准正态分布. 根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题. ,则 ~N(0,1) 设 定理1 书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算