离散数学课件-第3章-1,2.ppt

第三章 计数技术 Basic counting Principle 基本的计数原理 The inclusion-exclusion principles 容斥原理 Tree Diagrams 树图 在这一节我们将引入基本的计数技术。这些方法是几乎所有计数技术的基础。 Basic Counting Principles 基本的计数原理 （1） The Product Rule乘积法则 （2）The Sum Rule 求和法则 丢一个铜板和一个骰子共有多少可能的结果？ 铜板的正反面结果和骰子的点数结果互不影响，我们将整个工作分成 丢铜板和丢骰子两个子工作，先丢铜板时有2种可能，无论铜板是正面还 是反面，掷出来的骰子点数都有6种可能，则可以知道总的可能结果有 2*6=12种，如图所示，先掷骰子的情况下可能的情况数也是一样的，无论 是先丢铜板还是先丢骰子都有结果2×6=6×2种结果。 Definition Suppose that a procedure can be broken down into two tasks, If there are m ways to do the first task and n ways to do the second task after the first task has been done ,then there are m*n ways to do the procedure. 乘积法则定义：如果完成一件事情需要两个步骤，第一步有m种方法，第二步有n种方法去实现，则完成该件事情共有n*m种方法。 Phrased in terms of sets (用集合语言描述) If S and T are finite sets, then the number of elements in the Cartesian product of these sets is the product of the number of elements in each set, namely。如果S和 T是有穷集，那么在这两个集合的笛卡尔积的元素数 是这两个集合的元素数之积，即 | S ? T | = | S | ? | T | Example 1 用一个字母和一个不超过100的正整数给礼堂的座位编号。那么不同编号的座位最多有多少？ Example 2 某个计算机中心有32台微机，每台微机有24个端口 。问在这个中心里有多少个不同的单机端口？ 【 Example 】 从波士顿到底特律有4条汽车主干线，而从底特律到洛杉矶有6条。那么从波士顿经底特律到洛杉矶的汽车主干线有多少？ 假设一个过程由执行任务 来完成。如果在完 成任务 之后用 种方式来完成 ，那么完成这 个过程有 Example 3 How many different bit strings of length 7? 有多少个不同的7位二进制串？ Example 4 如果每个车牌由3个字母后跟3个数字的序列构成（任何字母的序列都可以），那么有多少个不同的有效的车牌？ Example 5 Counting Function （计数函数） How many functions are there from a set with n elements to one with m elements? 从一个m元集到一个n元集存在多少个函数？ Example 6 How many one-to-one functions are there from a set with m elements to one with n elements? 从一 个m元集到一个n元集存在多少个一对一函数？ Solution: (1) m n There are no one-to-one functions from a set with m elements to one with n elements.在具有m个元素的集合和具有n个元素的集合之间不存在一对一的函数。 (2) m ?n 假设定义域中的元素是a1 a2 …am 。 自变量为a1 的函数取值有n种情况，又因为函数是一 对一的，所以自变量为a2的函数取值有n-1种情况… 依次类推，总共的情况有 n(n-1)(n-2)…(n-m+1) Example 7 电话编码计划 在北美，电话号码的格式是