第四节 数理统计的基本概念.docVIP

第四节 数理统计的基本概念 数理统计是以概率论为理论基础的应用非常广泛的一个数学分支。它是运用概率论的的知识，研究如何从试验资料出发，对随机变量的概率分布或某些特征（如数字特征）作出推断的一门学科。数理统计的这种通过从局部观察去推断整体的方法具有普遍的意义，因此应用数理统计的方法，可以研究大量的自然现象和社会现象的规律性。目前已应用于教育科学、工程技术、管理科学、自然科学以及社会科学等领域。例如，教育科学中的教学质量的评估、预测以及试卷质量的评价、工业生产中的产品质量的控制与抽样检查、气象党的天气预报、地震学中的地震预报、医学中的疾病分析、药品疗效检验、农业生产中的产品估计与种子优选、人口学中的优生学和人口控制等等都渗透了数理统计的方法。 4.1总体与样本 1.总体与个体 在数理统计中，把研究对象的全体称为总体。而把总体中的每一个对象称为个体。例如，某厂生产一批电子元件共5000只，每只元件使用的寿命是一个随机变量，故总体是指5000只电子元件的使用寿命，而个体则是每一只电子元件的使用寿命。又如研究某市中学生身高时,该市中学生身高的全体就是总体，而个体就是每个学生的身高。一般来说，对总体的研究，就是对相应的随机变量的研究，因此，今后我们将总体与随机变量等同起来，用随机变量表示总体。 2．样本与样本值 在数理统计学中，总是通过观测或试验以取得信息。为了进行观测或试验，可以从客观存在的总体中按机会均等的原则随机地抽取一些个体，然后对这些个体进行观测或测试某一指标的数值。这样按机会均等的原则选取一些个体进行观测或测试的过程称为随机抽样。 用随机抽样的方法从总体中随机抽取一个个体，就是对总体进行一次试验或观察，其结果是个随机变量，并且与总体有相同的分布。在相同的条件下，对总体进行次重复的、独立的试或观察，即从总体中随机地抽取个个体，将次试验或观察得到的结果按次序记为，它们都是随机变量，并且由于各次试验或观察是在相同的条件下进行的，所以有理由认为相互独立，并且都与总体具有相同的分布。这样的称为总体的一个容量为的简单随机样本，简称样本，样本中个体的数目称为样本容量。当具体进行次试验或观察后，得到一组实数，分别是的观察值，称为样本观察值。 3．统计量 样本是进行统计推断的依据，但在应用中往往不是直接利用样本本身，而是针对样本进行“加工”和“提炼”，把样本中值得关心的有关信息集中起来构成关于样本的适当函数，利用这些样本的函数进行统计推断。这种样本函数称为统计量，其定义为： 定义４.１ 设是来自总体的一个样本，是关于的函数，若是连续函数且中不含任何未知参数，则称是一个统计量。若为样本的观察值，则称是的观察值。 例1 若是从正态总体中抽取的样本，其中是未知参数，由统计量的定义可知，，都是统计量，而和都不是统计量。 下面介绍几种常用的统计量。 设是来自总体的一个样本，为样本的观察值，则可以定义以下统计量。 （1）样本均值 其观察值为 （2）样本方差 其观察值为 （3）样本标准差 其观察值为 4.2抽样分布 1. 抽样分布 统计量是个随机变量，如何求出它的概率分布呢？统计量是总体的样本这个随机变量的函数。一般，如果总体的分布已知，又由于和有着相同的分布，因此统计量的分布是可以求得的。统计量的分布称为抽样分布。确定抽样分布是数理统计中的一个基本问题，但需要指出，确定抽样分布一般是比较困难的。然而，当为正态总体时，已经有了许多关于抽样分布的结论。 关于正态总体的样本的统计量的分布称之为关于正态总体的抽样分布。 下面先介绍3种关于正态总体的抽样分布：分布、分布和分布，它们称为统计学的三大分布；然后再介绍关于正态总体抽样分布的几个重要结论。 2. 统计学三大分布 （1）分布 若随机变量的密度函数为 其中是函数在处的值，这种密度函数称为自由度为的分布，记为，并称服从自由度为的分布，记作。分布的图形如图4.1所示 图4.1 （2）分布 设随机变量与相互独立，且，，则的密度函数为 ， 。 这种密度函数称为自由度为的分布，记为，并称服从自由度为的分布，记作,它的图形如图4.2所示 。 图4.2 （3）分布 设随机变量与相互独立，且，，随机 变量的密度函数为 这种密度函数称为第一自由度为，第二自由度为的分布，记为，并称服从第一自由度为，第二自由度为的分布，记作。它的图形如图4.3所示。 图4.3 3. 关于正态总体的抽样分布 定理1 设是正态总体