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第6章 二次型 §6.1 二次型的矩阵表示 一、二次型的概念 定义1 含有个变量的二次齐次函数 称为二次型. 二、二次型的矩阵 取,则于是 其中 . 称为二次型的矩阵形式. 其中实对称矩阵称为该二次型的矩阵.二次型称为实对称矩阵的二次型. 实对称矩阵的秩称为二次型的秩. 于是，二次型与其实对称矩阵之间有一一对应关系. 例 写出下列是二次型相应的对称阵. (1) 其矩阵为 (2) 相应的实对称阵为 (3) 相应的实对称阵是一个对角阵: (4) 相应的对称阵为 例 写出矩阵对应的二次型 求对应的实二次型. 解 是三阶阵，故有3个变量，则实二次型为 只含有平方项的二次型 称为二次型的标准型 §6.2 化二次型为标准形 定义2 关系式 称为由变量到的线性变换. 记为， 矩阵称为线性变换矩阵. 若（即可逆矩阵），称该线性变换为可逆线性变换. 若C为正交矩阵，称该线性变换为正交变换. 对于一般二次型,我们的问题是：寻求可逆的线性变换将二次型化为标准型，将其代入得 这里，为关于的二次型，对应的矩阵为. 注: 要为标准型，即要为对角矩阵，即 由上章实对称矩阵对角化的方法，可取为正交变换矩阵. 定理1 任给二次型 总有正交变换 使f化为标准形 其中是f的矩阵的特征值. 用正交变换化二次型为标准形的步骤： (1) 将二次型表成矩阵形式 求出; (2) 求出A的所有特征值 ; (3) 求出对应于特征值的特征向量 ; (4) 将特征向量正交化, 单位化, 得, 记 (5) 作正交变换,则得f的标准形 例 将二次型通过正交变换 化成标准形. 解 (1) 写出二次型矩阵: (2) 求其特征值:由 (3) 求特征向量： 将代入得基础解系 将代入得基础解系 (4) 将特征向量正交化 取 得正交向量组: 将其单位化得: 作正交矩阵: (5) 故所求正交变换为 在此变换下原二次型化为标准形: 对于简单的二次型，也可以用用配方法解之. 例 将化为标准形. 解 因标准形是平方项的代数和，可利用配方法解之. (1) 令 即 代入(1)式得二次型的标准形 例 化二次型为标准形, 并求所用的变换矩阵. 解 令 所用变换矩阵为 §6.3 正定二次型 定理2（惯性定理） 设有实二次型,它的秩为，有两个实的可逆变换及 使及 则中的正数的个数与中的正数的个数相等 定义3 设有实二次型,如果对任何非零向量, 都有 （或）成立，则称为正定（负定）二次型，矩阵称为正定矩阵（负定矩阵）. 二次型的正定性与其矩阵的正定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别. 定理3 实二次型为正定的充分必要条件是它的标准型的个系数全为正 例 二次型是正定的 推论1 实对称矩阵为正定的充分必要条件是的特征值全为正 推论2 实对称矩阵为正定的充分必要条件是存在可逆矩阵P，使 定理4 对称矩阵为正定的充分必要条件是的各阶顺序主子式都为正. 对称矩阵为负定的充分必要条件是的奇数阶主子式为负，偶数阶主子式都为正. 例 判别二次型的正定性, . 解 题设二次型的矩阵 是负定的. 例 当取何值时, 二次型是正定的: . 解 题设二次型的矩阵 时，是正定的. 5