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§9-4 线性系统的能控性和能观测性 一.系统的能控性 2. 线性定常系统的能控性判据 【例9-8】 判断下列系统的能控性 例 判断下列系统的能控性 例 已知系统状态方程, 试判断其状态能控性。 (2) 约当标准型判据 例 判断系统状态能控性 【例】???? 试考察下列系统的状态能控性 二. 系统的能观测性 2. 线性定常系统的能观性判据 【例】?试考察下列系统的能观测性。 例：判定系统能观性 (2)约当标准型判据 【例】?试考察下列系统的状态能观性 例 作业 9-16 * * 能控性和能观测性是现代控制理论中两个重要的概念,是由卡尔曼（Kalman）在60年代初提出的。它是最优控制和最优估计的设计基础。 能控性：输入u(t)能否控制状态x(t)变化； 能观性：x(t)变化能否由输出y(t)的测量值反映出来。 u(t) →x(t)(被控量) →y(t) 设线性连续系统 记为Σ(A, B) 1.定义: 对于系统Σ, 若存在控制作用u(t), 能在有限时间间隔(t0, tf)内, 将系统从某一初态x(t0)转移到任意指定的终态x(tf), 则称此状态x(t0)是能控的。若系统在状态空间中的所有状态都是能控的，称此系统状态完全能控，简称系统状态能控。 若系统存在某个状态x(t0)不满足上述条件，则称系统状态不能控。 　 系统 Σ(A,B),其状态完全能控的充要条件是能控性矩阵 Q =[B AB A2B ··· An-1B]满秩。 即 rank Q = n (1)秩判据 式中 n 为矩阵A的维数,Q为系统的能控性判别阵。 解 能控性矩阵为 即Q为非奇异，因此系统是状态能控的。 是一个三角形矩阵, 斜对角线元素均为1,无论 a1、a2 取何值, rankQ =3 满秩,此形式的状态方程，称为能控标准型。 , 所以系统状态不完全能控。 解 能控性矩阵为 将此矩阵的第2行加到第3行， 可得矩阵 A为对角型(特征值互异),状态能控的充要条件是B阵每行的元素不全为零。 解 展开 因 b1=0, x1不受u(t)控制, 称状态不完全能控。 b2≠0 u y + + + + 解 （1）是状态不完全能控的，因b2为零行。 （2）B阵无全零行，状态完全能控。 1.能观性定义 在有限的时间段[t0，tf]内, 通过观测 y 能唯一确定系统初始状态x(t0), 则称x(t0)是能观测的。若系统在t0时刻的所有初始状态都能观测，则称系统的状态是完全能观测的。 (1) 秩判据 系统Σ(A,C)状态完全能观测的充要条件是能观测性矩阵 即 满秩, 解 该系统是能观测的。 不能观 【例】判断下列系统的能观性 是一个三角形矩阵, 斜对角线元素均为1,无论a1a2取何值, rankR=3 满秩, 此形式的状态方程，称为能观标准型。 A为对角型(特征值互异),状态能观的充 要条件是C阵每列的元素不全为零。 能控条件：B阵每行的元素不全为零。 能观条件：C阵每列的元素不全为零。 对偶 x2不能观 例 判断系统状态能观性 解 y1 + + y2 y1 + + y2 C 阵中无全零列，状态完全能观测。 解 (1) C 阵中无全零列，状态完全能观测。 (1) 解 A为对角型,但特征值相重, B阵虽无全零行, 但也不能控; C阵虽无全零列, 但也不能观。可用秩条件来判断。