常微分方程初值问题数值解法要点.ppt

* 第六章 常微分方程初值问题的数值解法 6.1 欧拉方法　 　 　　　 　　 6.2 计算公式的误差分析 　　 6.3 龙格－库塔方法 　　　　 6.4 向一阶方程组与高阶方程的推广 一、欧拉法： 只要f(x,y)满足一定条件，则此问题的解是存在的，且是唯一的。 在求解的过程中，我们已掌握了一些典型方程的解法。但是仍有不少方程是无法求出其解析解的，因此我们要讨论其数值解。即在微分方程解存在的前提下，构造一种算法，计算出微分方程的解y(x)在存在 区间上点 上的值的近似值，即不求其准确解y=y(x)的解析表达式，而求出一个函数表格 1.问题的提出： 2.数值求解方法： 6.1 欧拉方法 6.1.1 欧拉公式与改进欧拉公式 1)算法： 误差 误差是由两部分构成，每一步计算所产生的误差与误差的积累。我们仅讨论前一种误差，即在计算 时认为前 一步是精确的，即 ，我们估计 利用泰劳展开式： 例6.1 以 h=0.1为步长，用欧拉法求常微分方程初值问题 6.1.2 梯形公式与改进欧拉公式 欧拉公式与后退欧拉公式也可采用积分近似的方法推出 欧拉公式是显示格式，而梯形公式也是隐式公式，在求 是 要解一个函数方程（不方便）。因此我们利用将梯形公式与欧 拉公式联合使用，先用欧拉公式求得一个初步近似值 ，称 为预报值，然后代入梯形公式右边，得到 ——校正值。 用梯形公式计算时，通常取欧拉公式的解作为迭代初值进行迭代计算，即采用下式 这称为改进欧拉公式 例6.2 仍取步长h = 0.1，采用改进欧拉法重新计算例 6.1 的 常微分方程初值问题。 这时改进欧拉公式为 计算结果见表6-2（书125页） 解 6.2 计算公式的误差分析 定义6.1 若 yi+1 是 yi=y(xi) 从计算得到的近似解，则称 y(xi+1) － yi+1为所用公式的局部截断误差，简称为截断误差。 定理6.1 若单步法 yi+1 = yi+h? (xi , yi , h) 的局部截断误差为 O (h p+1) ，且增量函数? (x , y , h) 关于 y 满足李普希兹条件，即存在常数 L0，使对 成立不等式 则其整体截断误差 y(xi)－ yi=O(hp) 截断误差的估计(基本假设： yi = y( xi ) ) 设 y(x)?C 3 [x0 , b] , 则 （1）对欧拉公式，有 因此，欧拉公式的局部截断误差为 O (h2) （2）对后退欧拉公式，有 因此，后退欧拉公式的局部截断误差为 O (h2) （3）对梯形公式，注意到其公式可改写为 故由式（6-9）和（6-9）得 因此，梯形公式的局部截断误差为 O ( h3 ) （4）对改进欧拉公式，有 而由 ，故有 与式（6-7）比较得 y(xi+1) －yi+1 = O ( h3 ) 因此，改进欧拉公式的局部截断误差为 O ( h3 ) 定义6.2 若一种求解常微分方程初值问题的数值计算方法的局部截断误差为 O ( hp+1 ) ，则称该方法为 p阶精度，或称该方法为 p阶方法。 由此定义知，欧拉方法与后退欧拉方法为一阶精度，梯形法与改进欧拉方法为二阶精度。 6.3 龙格-库塔方法 由中值定理，有 因此，以上介绍的各种单步法本质上都是对平均斜率 f(? , y(? )) 进行近似，龙格-库塔据之提出了适当选取若干点上的斜率值作近似以构造高精度计算公式的方法，其基本思想是基于泰勒展式的待定系数法。 6.3.1 二阶R-K公式 问题：建立二阶精度的计算格式形为 在 y(xi) = yi 的假设下，有 故 解 而 根据格式为二阶精度，即 y(xi+1) －yi+1 = O(h3) 比较两式系数得 系数满足(6-13)的形为(6-12)计算格式统称为二阶R-K公式。当令?1=1/2时，解得 ?2=1/2 ，a=b=1，即为改进欧拉公式。若令 ?1=0，解得 ?2=1，a=b=1/2，则得另一计算公式 变形欧拉公式