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对牛顿切线法的进一步探讨 石萍 王嘉谋 程慧琴 张英琴 (内蒙古科技大学 014010) 摘要：本文对工科高等数学教材中关于牛顿切线法求方程近似解方法中近似解数列收敛性及收敛速度问题作了解答，以期能给工科学生一定的解惑。 关键词：牛顿切线法，近似解，误差，收敛速度 我们知道，使用牛顿切线法求方程的近似根时，对函数作如下假设： 1.设在闭区间上具有二阶连续导数。 2. 3.在上保持定号。 如果，则取作为方程的初始近似根，而由迭代式 （*） 得到更精确的次近似根。 现在的问题是： 由（*）式得到的近似根的数列是否收敛？ 近似根的误差估计式如何？ 在条件且恒大于零的情况下，（*）式所得到的近似根数列收敛速度如何？对问题（1），设方程在区间上的精确根为，则根据前述准则取为初始近似根时有与异号，即 故由（*）式得 ① 立即可知； 又即，将函数在上应用一阶泰勒公式，有 ② 将②代入①得 即 由于在上与异号，因此，, 所以有。 一般地，可得. 同样，根据前述准则取为初始近似根时,有; 无论哪种情况，由单调有界数列必有极限的原理知近似根数列的极限总是存在的，设其极限为，于是对两端取极限，并应用及在上连续得,因此，,所以， 即数列收敛，且收敛于方程的精确根。 对问题（2），为了求出牛顿切线法所得近似根的误差，把有限增量公式应用于得,（其中介于与之间） 而，于是， 由牛顿切线法的假设条件知，在上总是单调增函数或是单调减函数，因此，,记，则, 所以有如下误差估计式 ③ 对问题（3），为了估计牛顿切线法所得近似根数列收敛速度，我们仅就且恒大于零的情况来讨论（其它三种情况可作类似讨论），此时，因为，应用一阶泰勒公式，有,（其中介于与之间） 所以， ④ 将④式代入（*）式得 所以， 因为 ，且记，则有, 所以 于是有 若记，亦即是初次近似根的误差，是第二次近似根的误差，则有 ⑤ 今重复使用牛顿切线法，便有 亦即 ⑥ 今若引进记号：,则有 ⑦ 如果取区间和初次近似根，使，则可看到，重复使用牛顿切线法求近似根，其误差将以指数级函数的速度极其迅速地减少。 参考文献 同济大学应用数学系主编《高等数学》第六版，上册。北京：高等教育出版社，2007.4 【2】复旦大学数学系 陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中，数学分析 第二版，上册，北京：高等教育出版社，1983,7 John H.Mathews.数值方法【M】.北京：电子工业出版社。2010. 李岳生，黄友谦。数值逼近。北京：人民教育出版社，1978,7 作者简介：石萍，1963年，女，内蒙古科技大学，辽宁，副教授,应用数学 内蒙古包头市松石名第1栋1502号, 014010，pingshi2013@