34线性算子的基本定理.doc

3.4 线性算子的基本定理 汉恩-巴拿赫延拓定理、逆算子定理、闭图像定理以及共鸣定理是泛函分析的四大基石，证明具有一定的技巧，应用非常广泛．前面已经学习了Hahn-Banach定理，知道一般的线性赋范空间中存在足够多的线性连续泛函，从而使共轭空间的研究才有意义．本节探讨其它三个重要的定理． 汉恩-巴拿赫延拓定理(The Hahn-Banach Theorem) 定理 设为线性赋范空间的线性子空间，是上的任一线性有界泛函，则存在上的线性有界泛函，满足 (1) 当时，； (2) ． 其中表示作为上的线性泛函时的范数；表示上的线性泛函的范数． 延拓定理被应用于Riesz定理、Liouville定理的证明及二次共轭空间等的研究中． 3.4.1 逆算子定理(The Inverse Mapping Theorem) 在微积分课程中介绍过反函数的概念，并且知道“单调函数必存在反函数”，将此概念和结论推广到更一般的空间． 定义3.4.1 逆算子(广义上) 设和是同一数域上的线性赋范空间，，算子：，的定义域为；值域为．用表示从的逆映射(蕴含是单射)，则称为的逆算子(invertiable operator)． 定义3.4.2 正则算子 设和是同一数域上的线性赋范空间，若算子：满足 (1)是可逆算子； (2) 是满射，即； (3) 是线性有界算子， 则称为正则算子(normal operator)． 注1 ①若是线性算子，是线性算子吗？②若是线性有界算子，是线性有界算子吗？ 性质3.4.1 若：是线性算子，则是线性算子． 证明 ，，由线性性知： 由于可逆，即不是零算子，于是，故是线性算子．□ 定理3.4.1逆算子定理 设是Banach空间到Banach空间上的双射(既单又满)、线性有界算子，则是线性有界算子． 例3.4.1 设线性赋范空间上有两个范数和，如果和均是Banach空间，而且比强，那么范数和等价．(等价范数定理) 证明 设是从由到上的恒等映射，由于范数比强，所以存在，使得有 于是是线性有界算子，加之既是单射又满射，因此根据逆算子定理知是线性有界算子，即存在，使得有 ． 故范数和等价．□ 3.4.2 闭图像定理(The Closed Graph Theorem) 学习微积分时，我们知道闭区间上的函数图形是平面上的一条曲线，即为中的一个点集，特别当，这个点集为中的闭集，现在将此结论推广到更一般的线性赋范空间上． 定义3.4.3 线性赋范空间的乘积 设和是同一数域上的线性赋范空间，考虑直积集， ，，在上定义加法和数乘， ， 那么构成线性空间．设，其范数分别为，于是在上可定义范数 ， 最常用的是，，，可证明这些范数都是上的等价范数．此时称为和的乘积空间． 注2 通过上述范数的定义可知乘积空间是线性赋范空间，于是在中就有了开集、闭集、列紧集、收敛列、完备性等概念和相应的结论．例如点列收敛于当且仅当 ． 同时易证 ， 可见若，闭集的的充要条件为：，若，即，，则有． 定义3.4.4 闭算子 设和是同一数域上的线性赋范空间，若的图像 是乘积空间的闭子集，则称为闭线性算子，简称闭算子． 引理3.4.1 设和是同一数域上的线性赋范空间，：是线性算子，那么为闭线性算子，当，时，必有且． 证明 如果为闭线性算子，那么当，，时，显然有，而且在乘积空间中有，由于是中的闭集，故，即，． ，当时，显然有，，由条件知且．于是，即中的每一收敛点列的极限都在中，所以是闭集，即为闭线性算子．□ 注3 对于线性算子而言，已有三个主要的概念：连续性、有界性和闭性，其中连续性和有界性等价，因此，需要研究“线性有界算子”与“闭线性算子”之间的关系． 定理3.4.2 设：是线性有界算子，如果是的闭线性子空间，那么为闭线性算子． 证明 设且有，．因为是的闭线性子空间，所以；又因为有界，即连续算子，所以 故根据上述引理可得为闭线性算子．□ 注4 当时，若：是线性有界算子，则由定理知为闭算子． 定理3.4.3 闭图像定理 设和都是Banach空间，：是闭线性算子，是的闭线性子空间，那么为线性连续算子． 证明 略． 推论3.4.1 设和都是Banach空间，，那么 为线性有界算子为闭算子． 例3.4.2 设，，定义微分算子：如下：，，则是闭算子，但是无界的． 证明 由第三节例3.3.3后的反例知：令，可得 ； 知是无界的．下证是闭算子．设，且，．因为在中的收敛是函数列的一致收敛，由，即在上一致收敛，所以有 即，从而 ，且，根据上述引理3.4.1(闭算子的等价条件)知，是闭算子．□ 例3.4.2说明算子的闭性不蕴含有界，下面的例子则说明有界也不蕴含闭性． 例3.4.3 设，是上的实系数多项式函数的全