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Lecture 7 Options 期权价格的敏感性和期权的套期保值 Delta 与期权的套期保值 Theta 与套期保值 Gamma 与套期保值 Vega 、rho 与套期保值 交易费用与套期保值 期权Δ值与σ的关系 标的资产价格波动率对期权Δ值的影响较难确定，它取决于无风险利率水平、S与X的差距、期权有效期等因素。 对于较深度虚值的看涨期权和较深度实值的看跌期权来说，Δ是σ的递增函数。 Theta与套期保值 期权的Theta（Θ），用于衡量期权价格对时间变化的敏感度，是在其他条件不变的情况下期权价格与时间变化的比率，即期权价格对时间t的偏导数。 N’(x)是标准正态分布的密度函数 期权Theta值的性质和特征分析 期权的Θ值通常为负。在其他条件不变的情况下，随着期限的减小，期权的价值会逐渐衰减。因此，Θ值代表期权的价值随着时间推移而逐渐衰减的程度。 GAMMA与期权的套期保值 期权的Gamma（Г）是用于衡量期权的Δ值对于标的资产价格变化的敏感度的指标，等于期权的Δ值对标的资产价格的一阶偏导数，或等于期权价格对于标的资产价格的二阶偏导数。 从几何上看，Gamma反映了期权价格与标的资产价格关系曲线的凸度。 根据B-S-M无收益资产欧式期权定价公式，可以算出无收益资产欧式看涨期权和看跌期权的Г为： 无收益资产Gamma值与S的关系 证券组合的Γ值 只有期权有Г值，对于标的资产及远期与期货合约而言Г值均为0。因此证券组合的Г值就等于组合内各种期权Г值与其数量乘积的总和。 Δ、Θ和Γ之间的关系 根据衍生证券价格f所满足的B-S-M偏微分方程： Vega、Rho与期权的套期保值 期权的Vega（V）用于衡量该证券的价值对于标的资产价格波动率的敏感度，它等于期权价格对标的资产价格波动率的偏导数。 Vega的计算 标的资产及远期与期货合约的Vega值等于零。 当波动率σ为随机变量时，一个更恰当的期权定价模型是： 从理论上说，BSM期权定价公式假定σ为常数，不能使用BSM期权定价模型对σ求偏导数来计算Vega。但是，结果表明，由BSM模型得出的Vega与随机波动率模型得出的Vega模型很接近。 根据BSM模型可以求得： Vega中性 当证券组合的Vega值等于零时，称为Vega中性状态。 为了使证券组合达到Vega中性状态，可以在证券组合中加入某种期权的头寸来改变Vega值。 若要同时实现Vega中性和Gamma中性，则至少要在组合中加入同一标的资产的两种期权头寸。 若要同时实现Vega中性、Gamma中性和Delta中性，证券组合中除了要加入至少两种期权头寸外，还要加入一定头寸的标的资产。 令Гp和Vp分别代表证券组合的Г值和Vega值， Г1 和Г2分别代表期权1和期权2的Г值， V1和V2分别代表期权1和期权2的Vega值。 设ω1和ω2分别为使证券组合处于Г中性和Vega中性所需的期权1和期权2的数量，则ω1和ω2可用求解联系方程得到。 rho 与套期保值 期权的rho，是用于衡量期权价格对利率变化的敏感度，它等于期权价格对利率的偏导数 期权的Θ值同时受标的资产价格S和波动率σ以及无风险利率r的影响，并且与期权的内在价值有很大关系。 无收益资产看涨期权Theta值与S的关系 无收益资产看涨期权Theta值与有效期之间的关系 Theta与套期保值 作为对冲参数，Theta与Delta属于不同的类型。这是因为未来股票的价格有很大的不确定性，但时间走向却没有不确定性。 因此，通过对冲来消除交易组合关于标的资产的风险很有意义，但通过对冲来消除交易组合对于时间的不定性就毫无意义。 即使如此，许多交易员仍把Θ作为一个关于交易组合有用的描述。在一个Delta中性的交易组合中，Theta可以作为Gamma的近似。 期权Γ的意义 S C 股价 S 期权价格 C C Г值对于套期保值的重要意义在于，它衡量了Delta中性套期保值的误差，误差大小取决于期权价格与标的资产价格关系曲线的曲率。 无收益资产看涨期权和欧式看跌期权Gamma值与到期期限的关系 Gamma（Γ）中性 证券组合Γ值为零时称为处于Γ中性状态。 Γ中性是为了消除Δ中性保值的误差，同样也是动态的概念。 由于保持Γ中性只能通过期权头寸的调整获得，实现Γ中性的结果往往是Δ非中性，因而常常还需要运用标的资产或期货头寸进行调整，才能使得证券组合同时实现Γ中性和Δ中性。 Delta对冲的误差 S0 C0 S S1 期权价格 C1 C1 案例 ：Gamma 中性 假设某Delta 中性的保值组合的Γ值等于-5000 ，该组合中标的资产的某个看涨期权多头的Δ和Γ值分别等于0.80 和2.0。为使保值组合Γ中性，并保持Δ中性，该组合应购买多少份该期权，同时卖出多少份标的资产？ 该组合应购入的