离散数学屈婉玲_耿素云_张立昂第5章_高教.ppt

第五章 一阶逻辑等值演算与推理 主要内容 一阶逻辑等值式与基本的等值式 置换规则、换名规则、代替规则 前束范式 自然推理系统NL 及其推理规则 5.1 一阶逻辑等值式与置换规则 定义5.1 设A, B是两个谓词公式, 如果A?B是永真式, 则称A 与B等值, 记作A?B, 并称A?B是等值式 基本等值式 第一组 命题逻辑中16组基本等值式的代换实例 例如，???xF(x)??xF(x), ?xF(x)??yG(y) ? ??xF(x)??yG(y) 等 第二组 (1) 消去量词等值式 设D ={a1, a2, … , an} ① ?xA(x) ? A(a1)?A(a2)?…?A(an) ② ?xA(x) ? A(a1)?A(a2)?…?A(an) 命题逻辑的基本等值式（1） 双重否定律 ??A?A 幂等律 A?A?A, A?A?A 交换律 A?B?B?A, A?B?B?A 结合律 (A?B)?C?A?(B?C), (A?B)?C?A?(B?C) 分配律 A?(B?C)?(A?B)?(A?C), A?(B?C)?(A?B)?(A?C) 德摩根律 ?(A?B)??A??B ?(A?B)??A??B 吸收律 A?(A?B)?A, A?(A?B)?A 命题逻辑的基本等值式（2） 零律 A?1?1, A?0?0 同一律 A?0?A. A?1?A 排中律 A??A?1 矛盾律 A??A?0 蕴涵等值式 A?B??A?B 等价等值式 A?B?(A?B)?(B?A) 假言易位 A?B??B??A 等价否定等值式 A?B??A??B 归谬论 (A?B)?(A??B) ??A 特别提示：必须牢记这16组等值式，这是继续学习的基础 基本等值式 (2) 量词否定等值式 ① ??xA(x) ? ?x?A(x) ② ??xA(x) ? ?x?A(x) (3) 量词辖域收缩与扩张等值式. A(x) 是含 x 自由出现的公式，B 中不含 x 的自由出现 关于全称量词的： ① ?x(A(x)?B) ? ?xA(x)?B ② ?x(A(x)?B) ? ?xA(x)?B ③ ?x(A(x)?B) ? ?xA(x)?B ④ ?x(B?A(x)) ? B??xA(x) 基本等值式 关于存在量词的： ① ?x(A(x)?B) ? ?xA(x)?B ② ?x(A(x)?B) ? ?xA(x)?B ③ ?x(A(x)?B) ? ?xA(x)?B ④ ?x(B?A(x)) ? B??xA(x) (4) 量词分配等值式 ① ?x(A(x)?B(x)) ? ?xA(x)??xB(x) ② ?x(A(x)?B(x)) ? ?xA(x)??xB(x) 注意：?对?，?对?无分配律 置换规则、换名规则、代替规则 1. 置换规则 设?(A)是含A的公式, 那么, 若A?B, 则?(A)??(B). 2. 换名规则 设A为一公式，将A中某量词辖域中个体变项的所有约束 出现及相应的指导变元换成该量词辖域中未曾出现过的个 体变项符号，其余部分不变，设所得公式为A?，则A??A. 3. 代替规则 设A为一公式，将A中某个个体变项的所有自由出现用A中 未曾出现过的个体变项符号代替，其余部分不变，设所得 公式为A?，则A??A. 实例 例1 将下面命题用两种形式符号化, 并证明两者等值: (1) 没有不犯错误的人 实例 (2) 不是所有的人都爱看电影 实例 例2 将公式化成等值的不含既有约束出现、又有自由出现 的个体变项: ?x(F(x,y,z)??yG(x,y,z)) 实例 例3 设个体域D={a,b,c}, 消去下述公式中的量词: (1) ?x?y(F(x)?G(y)) 实例 实例 5.2 一阶逻辑前束范式 定义5.2 设A为一个一阶逻辑公式，若A具有如下形式